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1、第八届周培源大学生力学竞赛试题参考答案一、看似简单的小试验(30 分)(1)小球1 P 不可能直接击中A 点,证明见详细解答。(2)小球P2与圆盘开始分离时的角度 = arcsin( 3 1) 47。(3)碰撞结束后瞬时小球3 P 与半圆盘的动能之比为5:4。二、组合变形的圆柱体(20 分)(1) 1 332 T s M = D 。(2)在柱B端同时施加 = 3 s 的轴向拉伸应力不产生屈服。(3)圆柱体的体积改变量1 2 ( )4 V = D L 1 2 / E。三、顶部增强的悬臂梁(30 分)(1)组合截面形心的位置: 0 C z = , 1 0.592 C y = h 。(2)使梁B 端
2、下表面刚好接触C 台面所需的竖向力为3 31 1 0.4 / PF = E bh L 。(3)不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为top 2 2Q 1 1 F = 0.28E bh / L 。(4)梁的剪应力为3 ( 2 2 ) 32 1 / C = E y y L ,沿梁截面高度的分布图见详细解答。四、令人惊讶的魔术师(20 分)(1)力学原理:沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方式也不同:沿AB 推,推力1 F 最大,木条平动;垂直AB 在不同位置推动木条,木条绕不同的点转动,且推力2 F 的大小、转动位置均与推力位置有关。(2)根据滚动小球的号码信息,推力位置
3、位于num, num+1 号小球之间,且2 2maxmax24 2num n Qn Q=取整。(注意Q = N, or N 1, or N +1均算正确)。(3)设2 1 F / F = , 0, 0.414)不可能出现。当 0.414, 0.828)时,观众如果故意把2 F 错报为12 2 F ,一定会被魔术师发现。若 0.828, 1时,观众故意报错不会被发现。五、对称破缺的太极图(20 分)(1) x z x z I = I = I = I 成立,见详细解答。(2)在x = r, z = 0处粘上质量为14 m 的配重,图形就可以在空中绕Z 轴稳定地转动。2详细解答及评分标准总体原则:(
4、1) 计算题的某一小问,只要最后结果正确且有适当的步骤,就给全分。(2) 如结果不正确,则参考具体的评分标准。(3) 如结果不正确且方法与参考答案不一样,各地自行统一酌情给分。(4) 证明题需要看过程。一、看似简单的小试验(30 分)【解】:(1)小球出手后开始作抛物线运动,可以证明,在题目所给条件下,小球击中A 点之前,一定会和圆盘边缘上其它点碰撞,即小球不可能直接击中A 点。证明:如果想求出抛物线与圆的交点表达式,会很复杂。下面采用很简单的方法。圆盘的边界轨迹为x2 + y2 = r2,在A 点_右边的x = r + x处(设x为一阶小量),圆盘的高度为2 2 21 (r + x) + y
5、 = r , 2 21 y = 2rx x ,略去高阶小量,即0.51 y x ;小球的抛物线轨迹方程一定可以写为y = a(x b)2 + c的形式(a、b、c 与初始条件有关且均为正值)。在x = r + x处,抛物线的高为22 y = a(r + x b) + c。假设抛物线过A点,则有0 = a(r b)2 + c。因此有22 y = 2a(r + b)x ax ,略去高阶小量,即2 y x。即在A点之前(x = r + x处),抛物线的高度是1 阶小量,而圆盘的高是0.5 阶小量,所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞,不可能直接击中A 点。(2)建立
6、惯性坐标系与初始时刻的Oxy 重合。可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒mx + m(x r sin ) = 0 (11)结论3 分证明方法不限。结论错误, 0分;结论正确且能够证明,3 分;结论正确但证明不完善, 1分。1 分3系统机械能守恒1 2 1 2 2 22 2 mx + m(x 2xr sin + r ) + mgr sin = mgr (12)拆开系统,对小球由水平方向质心运动定理mx = N cos (13)由(11)和(12)得到12 x = r sin , 224(1 sin )(2 sin )gr= (14)对(14)中的速度和角速度求导有1 1 22 2 x =
7、rsin r cos ,22 22cos (2 sin 2sin )(2 sin )gr + = (15)把(15)代入(13)有( )( )32 24 sin 6sin2 sinmgN + =(16)下面求小球正好脱离圆盘的位置,即求4 + sin3 6sin = 0 的解。设x = sin ,y = x3 6x + 4。一般情况下三次方程的解不好求,但是本题比较好求。把x3,2,1,0,1,2,3 代入,可以看出x 在(3,2)之间、(0,1)之间以及x=2 处有三个解(见下图)。根据三角函数的特点,(0,1)之间的解有意义。注意到x=2 是一个解,所以设x3 6x + 4 = (x 2)
8、(x2 + x 2),容易求出 = 2,问题变为求x2 + 2x 2 = 0在(0,1)之间的解,为x = 3 1,因此 = arcsin( 3 1) 47时,小球与圆盘压力为零,正好分离。(3)为了求出碰撞后的速度,可以用不同的方法。以碰撞点处的法向n 和切向为坐标轴构成x y 。得到速度或角速度,1 分得到加速度或角加速度, 2分得到压力与角度的正确表达式,3 分得到角度的正确表达式, 3分1 分1 分4碰撞前小球的绝对速度在x y 坐标系中为T 0 0 ( sin , cos ) x y v = v v 。设碰撞后小球的绝对速度为T ( n , )x y x y x y v+ = v+
9、v+ 。碰撞时以小球为研究对象,由于圆盘光滑,小球切向速度不变有 0 cos x y v+ = v (17)法向速度满足恢复系数关系,设圆盘以速度u 后退运动,在x y 坐标系中为( )T cos , sin x y u+ = u u 。根据碰撞定义,有 0cossinnx y v uev+ += (18)同时根据系统水平动量守恒,有 n cos sinx y x y u = v+ v+ (19)联立(17),(18),(19),解出20 2sin ( cos )1 cosnx yv v e + =+, 02(1 )sin cos1 cosu v e +=+(110)小球的动能: ( ) (
10、) 2 21 11 2 2 nx y x y T = m v+ + m v+ ,半圆盘的动能: 1 22 2 T = mu代入e =1和 = 45,所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为1 2 T :T = 5: 4 (111)二、组合变形的圆柱体(20 分)【解】:(1)在扭矩作用下,圆柱外表面产生最大剪应力,其值为50%是剪切屈服应力。由扭转内力和应力公式计算得到3 216T T sPM MW D= = =3T 32 sM = D (2-1)(2)在圆柱外表面有最大应力,在剪切和轴向拉伸作用下,平面应力状态的主应力表达式为2 分,可以带入角度。如果坐标系选取不同,或符号不同,只要正确
11、即可。下面类似处理2 分1 分2 分2 分3 分4 分2 分52 2 2 21 2 31 4 , 0, 1 42 2 2 2 = + + = = + 应用第三强度理论(最大剪应力强度理论),有1 3 2 2max1 42 2 = = + (2-2)以剪应力2 = s 和拉伸应力 代入(2-2)式,屈服将发生在当拉伸应力 达到2 2max 2 2 = = + ss (2-3)故, = 3 s (2-4)(3)根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定,扭转作用不引起体积改变。仅考虑轴向拉伸作用下的体积改变量,利用功的互等定理,建立另一均匀压强p 作用下的圆柱体(考虑小变形)。圆柱轴向拉伸力为F = D
12、2 / 4,与另一圆柱的伸长变形L( p)功共轭,由功的互等关系,F L( p) = pV (F ) (2-5)式中, ( ) 1 L p = L。均匀压强p 作用下的圆柱体,三个主应力均为:1 2 3 = = = p轴向伸长应变为( ) ( ) 1 1 2 3 = 1 + = 1 2 pE E(2-6)代入(2-5)式,有: (1 2 ) = ( ) FpL p V FE,从而得到体积改变量:( ) ( ) ( )21 2 1 24V F = FL = D L E E(2-7)三、紧密结合的复合梁(30 分)【解】注意:计算结果保留小数点后2 位即可以。答案中保留了小数点后3 位。答案如包含
13、中间过程的参数,只要正确,也同样给分。(1)建立如下坐标系(如果坐标系不同,只要结论正确,不扣分)3 分1 分2 分1 分1 分2 分4 分方法不限制,6先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量1 E 材料的T 形截面,求截面形心的位置,由于截面对称,故0 C z = ,仅求C y 。21 22 1111 222 2 0.71 0.592C 2 1.2h b bh h hy h hh b bh+ + = = =+(3-1)(2)叠合梁粘接共同工作,先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量1 E 材料的T形截面,( ) ) ( ) )( ) ( ) ( )( )3 31 2 2 21 1
14、 2 1 23 3 3 3 21 1 13 31 10.592 0.5 2 2 1 0.592 0.512 120.083 0.008 0.167 0.1 0.2 0.4580.091 0.0 0.042 0.133zI bh bh h bh bh h hbh b h bhbh bh= + + + += + + += + + =(3-2)由梁端位移计算:31 3pzF LE I = ,得到所需的竖向力为:31 1 13 33 0.4 zpF E I E bhL L = = (3-3)(3)求此时不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力。由沿梁长度方向的剪力为常数,有Q p F = F ,得
15、到梁上表面的剪应力为( )( )1top 3 13 2 1 221 113 1 1 1 333 2 123 0.2 0.408 0.05 0.28zQcz zE I S F S L E bh h y hbI bI bLE h h h E hL L = = = + = + =(3-4)乘以梁上表面的面积,即为剪力值:4 分4 分1 分4 分5 分1 分72top top 1 1Q 2F bL 0.28E bhL= = (3-5)(4)计算剪应力的分布公式:( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )2 21 2 2 1 2 23 3 1122 23 3 (0.592 )2 2Q QC Cz zQ QC C Cz zCF S Fb y y y y ybI bIF b