《力学教案-第八届全国周培源力学竞赛试题参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《力学教案-第八届全国周培源力学竞赛试题参考答案（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八届周培源大学生力学竞赛试题参考答案一、看似简单的小试验（30 分）（1）小球1 P 不可能直接击中A 点，证明见详细解答。（2）小球P2与圆盘开始分离时的角度 = arcsin( 3 1) 47。（3）碰撞结束后瞬时小球3 P 与半圆盘的动能之比为5：4。二、组合变形的圆柱体（20 分）（1） 1 332 T s M = D 。（2）在柱B端同时施加 = 3 s 的轴向拉伸应力不产生屈服。（3）圆柱体的体积改变量1 2 ( )4 V = D L 1 2 / E。三、顶部增强的悬臂梁（30 分）（1）组合截面形心的位置： 0 C z = ， 1 0.592 C y = h 。（2）使梁B 端
2、下表面刚好接触C 台面所需的竖向力为3 31 1 0.4 / PF = E bh L 。（3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为top 2 2Q 1 1 F = 0.28E bh / L 。（4）梁的剪应力为3 ( 2 2 ) 32 1 / C = E y y L ，沿梁截面高度的分布图见详细解答。四、令人惊讶的魔术师（20 分）（1）力学原理：沿不同方向推动木条时，需要的推力大小不同，木条运动的方式也不同：沿AB 推，推力1 F 最大，木条平动；垂直AB 在不同位置推动木条，木条绕不同的点转动，且推力2 F 的大小、转动位置均与推力位置有关。（2）根据滚动小球的号码信息，推力位置
3、位于num, num+1 号小球之间，且2 2maxmax24 2num n Qn Q=取整。（注意Q = N, or N 1, or N +1均算正确）。（3）设2 1 F / F = ， 0, 0.414)不可能出现。当 0.414, 0.828)时，观众如果故意把2 F 错报为12 2 F ，一定会被魔术师发现。若 0.828, 1时，观众故意报错不会被发现。五、对称破缺的太极图（20 分）（1） x z x z I = I = I = I 成立，见详细解答。（2）在x = r, z = 0处粘上质量为14 m 的配重，图形就可以在空中绕Z 轴稳定地转动。2详细解答及评分标准总体原则：（
4、1） 计算题的某一小问，只要最后结果正确且有适当的步骤，就给全分。（2） 如结果不正确，则参考具体的评分标准。（3） 如结果不正确且方法与参考答案不一样，各地自行统一酌情给分。（4） 证明题需要看过程。一、看似简单的小试验（30 分）【解】：（1）小球出手后开始作抛物线运动，可以证明，在题目所给条件下，小球击中A 点之前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不可能直接击中A 点。证明：如果想求出抛物线与圆的交点表达式，会很复杂。下面采用很简单的方法。圆盘的边界轨迹为x2 + y2 = r2，在A 点_右边的x = r + x处（设x为一阶小量），圆盘的高度为2 2 21 (r + x) + y
5、 = r ， 2 21 y = 2rx x ，略去高阶小量，即0.51 y x ；小球的抛物线轨迹方程一定可以写为y = a(x b)2 + c的形式（a、b、c 与初始条件有关且均为正值）。在x = r + x处，抛物线的高为22 y = a(r + x b) + c。假设抛物线过A点，则有0 = a(r b)2 + c。因此有22 y = 2a(r + b)x ax ，略去高阶小量，即2 y x。即在A点之前（x = r + x处），抛物线的高度是1 阶小量，而圆盘的高是0.5 阶小量，所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞，不可能直接击中A 点。（2）建立
6、惯性坐标系与初始时刻的Oxy 重合。可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒mx + m(x r sin ) = 0 （11）结论3 分证明方法不限。结论错误， 0分；结论正确且能够证明，3 分；结论正确但证明不完善， 1分。1 分3系统机械能守恒1 2 1 2 2 22 2 mx + m(x 2xr sin + r ) + mgr sin = mgr （12）拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理mx = N cos （13）由（11）和（12）得到12 x = r sin ， 224(1 sin )(2 sin )gr= （14）对（14）中的速度和角速度求导有1 1 22 2 x =
7、rsin r cos ，22 22cos (2 sin 2sin )(2 sin )gr + = （15）把（15）代入（13）有( )( )32 24 sin 6sin2 sinmgN + =（16）下面求小球正好脱离圆盘的位置，即求4 + sin3 6sin = 0 的解。设x = sin ，y = x3 6x + 4。一般情况下三次方程的解不好求，但是本题比较好求。把x3，2，1，0，1，2，3 代入，可以看出x 在（3，2）之间、（0，1）之间以及x=2 处有三个解（见下图）。根据三角函数的特点，（0，1）之间的解有意义。注意到x=2 是一个解，所以设x3 6x + 4 = (x 2)
8、(x2 + x 2)，容易求出 = 2，问题变为求x2 + 2x 2 = 0在（0，1）之间的解，为x = 3 1，因此 = arcsin( 3 1) 47时，小球与圆盘压力为零，正好分离。（3）为了求出碰撞后的速度，可以用不同的方法。以碰撞点处的法向n 和切向为坐标轴构成x y 。得到速度或角速度，1 分得到加速度或角加速度， 2分得到压力与角度的正确表达式，3 分得到角度的正确表达式， 3分1 分1 分4碰撞前小球的绝对速度在x y 坐标系中为T 0 0 ( sin , cos ) x y v = v v 。设碰撞后小球的绝对速度为T ( n , )x y x y x y v+ = v+
9、v+ 。碰撞时以小球为研究对象，由于圆盘光滑，小球切向速度不变有 0 cos x y v+ = v （17）法向速度满足恢复系数关系，设圆盘以速度u 后退运动，在x y 坐标系中为( )T cos , sin x y u+ = u u 。根据碰撞定义，有 0cossinnx y v uev+ += （18）同时根据系统水平动量守恒，有 n cos sinx y x y u = v+ v+ （19）联立（17），（18），（19），解出20 2sin ( cos )1 cosnx yv v e + =+， 02(1 )sin cos1 cosu v e +=+（110）小球的动能： ( ) (
10、) 2 21 11 2 2 nx y x y T = m v+ + m v+ ，半圆盘的动能： 1 22 2 T = mu代入e =1和 = 45，所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为1 2 T :T = 5: 4 （111）二、组合变形的圆柱体（20 分）【解】：（1）在扭矩作用下，圆柱外表面产生最大剪应力，其值为50%是剪切屈服应力。由扭转内力和应力公式计算得到3 216T T sPM MW D= = =3T 32 sM = D (2-1)（2）在圆柱外表面有最大应力，在剪切和轴向拉伸作用下，平面应力状态的主应力表达式为2 分，可以带入角度。如果坐标系选取不同，或符号不同，只要正确
11、即可。下面类似处理2 分1 分2 分2 分3 分4 分2 分52 2 2 21 2 31 4 , 0, 1 42 2 2 2 = + + = = + 应用第三强度理论（最大剪应力强度理论），有1 3 2 2max1 42 2 = = + (2-2)以剪应力2 = s 和拉伸应力 代入(2-2)式，屈服将发生在当拉伸应力 达到2 2max 2 2 = = + ss (2-3)故， = 3 s (2-4)（3）根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定，扭转作用不引起体积改变。仅考虑轴向拉伸作用下的体积改变量，利用功的互等定理，建立另一均匀压强p 作用下的圆柱体（考虑小变形）。圆柱轴向拉伸力为F = D
12、2 / 4，与另一圆柱的伸长变形L( p)功共轭，由功的互等关系，F L( p) = pV (F ) (2-5)式中， ( ) 1 L p = L。均匀压强p 作用下的圆柱体，三个主应力均为：1 2 3 = = = p轴向伸长应变为( ) ( ) 1 1 2 3 = 1 + = 1 2 pE E(2-6)代入(2-5)式，有： (1 2 ) = ( ) FpL p V FE，从而得到体积改变量：( ) ( ) ( )21 2 1 24V F = FL = D L E E(2-7)三、紧密结合的复合梁（30 分）【解】注意：计算结果保留小数点后2 位即可以。答案中保留了小数点后3 位。答案如包含
13、中间过程的参数，只要正确，也同样给分。（1）建立如下坐标系（如果坐标系不同，只要结论正确，不扣分）3 分1 分2 分1 分1 分2 分4 分方法不限制，6先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量1 E 材料的T 形截面，求截面形心的位置，由于截面对称，故0 C z = ，仅求C y 。21 22 1111 222 2 0.71 0.592C 2 1.2h b bh h hy h hh b bh+ + = = =+(3-1)（2）叠合梁粘接共同工作，先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量1 E 材料的T形截面，( ) ) ( ) )( ) ( ) ( )( )3 31 2 2 21 1
14、 2 1 23 3 3 3 21 1 13 31 10.592 0.5 2 2 1 0.592 0.512 120.083 0.008 0.167 0.1 0.2 0.4580.091 0.0 0.042 0.133zI bh bh h bh bh h hbh b h bhbh bh= + + + += + + += + + =(3-2)由梁端位移计算：31 3pzF LE I = ，得到所需的竖向力为：31 1 13 33 0.4 zpF E I E bhL L = = (3-3)（3）求此时不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力。由沿梁长度方向的剪力为常数，有Q p F = F ，得
15、到梁上表面的剪应力为( )( )1top 3 13 2 1 221 113 1 1 1 333 2 123 0.2 0.408 0.05 0.28zQcz zE I S F S L E bh h y hbI bI bLE h h h E hL L = = = + = + =(3-4)乘以梁上表面的面积，即为剪力值：4 分4 分1 分4 分5 分1 分72top top 1 1Q 2F bL 0.28E bhL= = (3-5)（4）计算剪应力的分布公式：( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )2 21 2 2 1 2 23 3 1122 23 3 (0.592 )2 2Q QC Cz zQ QC C Cz zCF S Fb y y y y ybI bIF b
