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1、第二章第二章 气体动理论气体动理论1.1. 气体的微观图像与宏观性质气体的微观图像与宏观性质气体是由大量分子组成的，1mol 气体所包含的分子数为。分2310023. 6 子之间存在相互作用力。分子在做永不停息的无规则的运动，其运动程度与温 度有关。 在分子层次上，理想气体满足如下条件： （1）分子本身的大小与分子之间平均距离相比可以忽略不计，分子可看作 质点。 （2）除碰撞的瞬间以外，分子之间的相互作用力可以忽略不计，分子所受 的重力也忽略不计。 （3）气体分子间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞为完全弹性碰撞。2.2. 理想气体压强与温度理想气体压强与温度理想气体的压强公式nvnmp32 31
2、2其中， ，称分子平均平动动能，它表征了分子运动的剧烈程度。 。2 21vm理想气体的温度公式3 2kT 温度公式表明，温度是大量分子热运动剧烈程度的标志。3.3. 阿伏伽德罗定律阿伏伽德罗定律在相同的温度和压强下，各种气体在相同体积内所包含的分子数相同。4.4. 道尔顿分压定律道尔顿分压定律混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。5.5. 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布在平衡态下，气体分子服从如下麦克斯韦速率分布规律23 2 22d4d2mv kTNmevvNkT 麦克斯韦速率分布函数23 2 22d( )4d2mv kTNmf vevN vkT 其表征了处于起点速率为 的单位速率区间内的
3、分子数占总分子数的百分比。v6.6. 分子速率的三种统计值分子速率的三种统计值从麦克斯韦速率分布规律可以导出分子速率的三种统计值 最概然速率P2kTvm 表明气体分子速率并非从小到大平均分配，速率太大或太小的分子数很少，Pv 速率在附近的分子数最多。Pv 平均速率8kTvm 平均速率是描述分子运动状况的重要参量，为所有分子的速率之和除以总分v 子数。 方均根速率3kTvm 7.7. 能量均分定理能量均分定理描述一个物体空间位置所需的独立坐标数称该物体的自由度。单原子分 子的自由度为 3，刚性双原子分子的自由度为 5，非刚性双原子分子的自由度为 6。 能量均分定理 在温度为 T 的气体中，分子热
4、运动动能平均分配到分子的每个自由度上，每个自由度的平均动能都是。1 2kT8.8. 理想气体的内能理想气体的内能 每个气体分子的热运动动能以及分子与分子之间相互作用势能的和构成 了气体的总能量，这个能量称为气体的内能。 1mol 理想气体的内能为0A22iiENkTRT 质量为 M，摩尔质量为的理想气体的内能为2M iERT 由此可见，对于一定量的理想气体，其内能只是温度的单值函数。 气体分子的输运规律气体分子的输运规律气体的黏滞现象 牛顿黏滞定律对气体同样适用d dufSy 其中，为气体黏度，f 为作用在相互接触的两气层上的作用力，为两气层S 的作用面积。 气体的热传导现象 气体的热传导遵守
5、如下的傅立叶热传导定律QTStx 该定律表明，单位时间内沿 x 方向通过面积的热量与该方向上的温度梯度成S 正比，与面积也成正比。负号表示传热的方向与温度梯度的方向相反。其中S 的比例系数称热导率。 气体分子的扩散 气体扩散的基本规律是菲克扩散定律，其表达式为d dNnDStx 其中，D 为比例系数，称扩散系数，负号表示气体分子扩散的方向与分子数密 度梯度的方向相反。思考题2-1 若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体，每一个分子的质量为 ，分子数密度为，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形mn 的，压强公式的形式仍然是不变的。请证明之。 答：答：在球形容器内，分子运动的轨迹如图
6、 2-1 中带箭头实线所示。设分子 i 的速率为，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运iv 动方向，不改变速度的大小，并且， “入射角”等于“反射角” 。 对分子 i 来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的法向冲量为。该分子每秒钟内与器壁的碰撞次数2cosimv 为，所以，该分子每秒内作用在器壁2 cosivR 上的作用力为2 2cos2 cosii ivmvmvRR 对于总数为 N 的全部分子（分子是全同的， 每一个分子的质量均为 m。 ）来说，球形内壁每 秒内所受到的总作用力等于21Ni imFvR 由于球形内壁的总面积为，气体的体积为。所以，按照压强的24 R3
7、4 3R定义得211 2311 4433 3NNii iimvvFNRpmnmvSRNR 证毕。2-2 对汽车轮胎打气，使之达到所需要的压强。在冬天与夏天，打入轮胎 内的空气质量是否相同？为什么？ 答：答：不相同，在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些。因为夏天气温高， 空气分子的平均平动能较大；冬天气温低，空气分子的平均平动能较小。根据 理想气体的压强公式 2 3pn可知，当压强相同时，在冬天打入轮胎内的空气密度（即质量）要大一些。2-3 根据理想气体的温度公式，当K 时，0。由此可推断，0T K(即273)时，分子将停止运动。对此推论，你有何看法？请评判之。0T答：答：这种看法是错误的。因为理
8、想气体的温度公式只适用于理想气体，而 在273时，已经不存在理想气体了，温度公式也就不成立了，如此的推论自 然也就是错误的。事实上，即使达到273，分子也还在作微小的振动，运动 仍不会停止。2-4 范德瓦耳斯方程是从理论上推出的，更精确的昂内斯方程则是一个半 经验方程。从形式上看，范德瓦耳斯方程可视为昂内斯方程的一个特例，请证 明之。式（2-31）是由体积表达的昂内斯方程，你能否给出由压强表达的Vp 昂内斯方程？OR图 2-1vi答：答：（1）由RTbVVap)(2得RTVab VapbpV2整理得 2Vab VaRTpbpV令RTpbA则，aBabC 把、带入2BCpVAVV此式即为昂内斯方
9、程。（2）以压强展开的昂内斯方程为2pVAB pC pL2-5 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布。一般而言，速率 分布函数还可以有其他形式。但是，无论何种形式，它们的意义是相同的。设 为速率分布函数，请思考下列各式所代表的意义：)(vf（1） ； （2）； （3）； （4）。( )df vv( )dNf vv21( )dvvf v v 21( )dvvNf v v 答：答：（1）表示速率分布在区间内的分子数占总分子数的( )df vvvvvd百分比。（2）表示速率分布在区间内的气体分子数。( )dNf vvvvvd（3） 表示速率分布在区间内的分子数占总分子数的百分21( )dvv
10、f v v 21 vv比。（4） 表示速率分布在区间内的气体分子数。21( )dvvNf v v 21 vv2-6 若引入无量纲的量，试证明麦克斯韦速率分布规律可表达为pvvu 224( )dduf uueuu 并由此说明 的分子数与总分子数之比与温度无关。vPv答：答：令，则pvvu ddpvu v=带入麦克斯韦速度分布公式可得22322224( )d4dd2mv ukTmf vvevveuukT令，即有224( )uf ueu224( )dduf uueuu的分子数与总分子数之比即为 u 从 01 的分子数与与总分子数vPv之比。于是，其比率为2112004( )dduNf uuu euN
11、用分布积分法可解出0.4276N N由此可见， 的分子数与总分子数之比与温度无关。vPv2-7 气体分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意义有什么区 别？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在数值上，这三个速率哪个 最大？那个最小？ 答：答：由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢，由方均根速率可知分 子平均平动动能的大小，而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总 分子数的比率最大。显然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。 在数值上，此三个速率大小关系是2vvvp2-8 1mol 的水蒸汽（H2O）分解成同温度的氧气和氢气，内能增加了百分之几？（提示：将水蒸汽视为理想气体
12、，不计振动自由度，水蒸汽的自由度为 6） 答：答：由水分解成同温度的氧气和氢气的化学方程式为222O21HOH根据理想气体的内能公式，分别计算 H2O、H2、O2的内能为RTiE22H O632ERTRT2H5 2ERT2O5 2ERT根据化学方程式可知水分解后的内能 E2为222HO151 515 222 24EEERTRTRT水分解前的内能为21H O632EERTRT分解前后内能增量为21153344EEERTRTRT于是，内能增加的百分比为13 1425%34RTE ERT2-9 若盛有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强和分子数密度各减为 原来的一半，气体的内能和分子平均动能是否改变
13、？为什么？ 答：答： 根据理想气体的温度公式kT23由于温度不变，气体分子平均动能没有改变。但由于分子数密度减少了，容器 中的气体质量减小，根据理想气体的内能公式RTiME2可知，气体的内能减少。2-10 在气体的迁移现象中本质上是那些量在迁移？分子热运动和分子碰 撞在迁移现象中起什么作用？ 答：答：在气体的迁移现象中本质上是气体的动量、能量或质量从一部分向另一部分的定向迁移。动量、能量或质量的定向迁移是通过分子热运动和分子碰 撞实现的。练习题2-1 每秒有 1023个氧分子以 500ms-1的速度沿与器壁法线成 45 角的方 向撞在面积为m2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大? 4
14、102 解：解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为02cos45ftmv 每秒内全部 N 个分子对器壁的作用冲量，即冲力为02cos45FNmv根据压强定义式得：0233023442cos4510232 10500cos45 6 02 102 10 1 88 10 (Pa)FN mvpSS-= = 2-2 目前，真空设备内部的压强可达Pa，在此压强下温度为101001. 1 27时 1m3体积中有多少个气体分子?解：解：由 得nKTp 10 103 231 01 102 45 10 (m )1 38 10300pnKT 2-3 一个容器内储有氧气，其压强为Pa，温度为 27，计算:(1)
15、气51001. 1体分子数密度；（2）氧气的密度；（3）分子平均平动动能；（4）分子间的平 均距离（设分子均匀等距排列） 。 解：解：由题意知 、Pa1001. 15pK15.273T （1） 分子数密度可由下式求出：)(m1044. 215.2731038. 11001. 1125 235 kTpn（2） 设氧气分子的密度为，每个分子的质量为 m,则nm 设分子的摩尔质量为，1mol 气体所含的分子数为（阿伏伽德罗常数） ，AN 则，将其带入上式得mNAANm)mkg(30110023. 610321044. 23 23325 .NnA（3） 分子平均平动动能可由温度公式求出2321331.38 103006.21 10(J)22kT（4） 由分子数密度可
