【力学教案】 第4章 拉伸与压缩

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1、第二篇 材料力学引言一、材料力学的任务材料力学主要研究固体材料的宏观力学性能，构件的应力、变形状态和破坏准则，以解 决杆件或类似杆件的物件的强度、刚度和稳定性等问题，为工程设计选用材料和构件尺寸提 供依据。材料的力学性能包括材料的比例极限、屈服极限、强度极限、延伸率、断面收缩率、 弹性模量、横向变形因数、硬度、冲击韧性、疲劳极限等各种设计指标。它们都需要用实验 测定。 构件的承载能力指标包括强度、刚度、稳定性。 强强度度：构件抵抗破坏（断裂或塑性变形）的能力。 刚刚度度：构件抵抗变形的能力。 稳稳定性定性：构件保持原来平衡形态的能力。二、变形固体的基本假设变形固体在外力作用下发生变形的物体。变

2、形固体的实际组成及其性质是很复杂的， 为了分析和简化计算将其抽象为理想模型，作如下基本假设： 1.连续连续性假性假设设：认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积。 （某些力学量可作为点的坐标的函数） 2.均匀性假均匀性假设设：认为固体内到处有相同的力学性能。 3.各向同性假各向同性假设设：认为无论沿任何方向固体的力学性能都是相同的。 4.小小变变形假形假设设：以原始尺寸代替变形后尺寸。各向同性材料：如钢、铜、玻璃等。 各向异性材料：如材料、胶合板，某些人工合成材料、复合材料等。三、外力及其分类1分布力或分布载荷 作用于构件的外力又可称为载荷，是一个物体对另一物体的作用力。按外力作用方式可

3、以分为体积力和表面力。作用在杆件内部各个质点上的力称为体积力体积力，例如重力，电磁力， 惯性力等都是体积力。体积力的单位是牛顿/米3，记为 N/m3。表面力是作用于物体表面上的力，又可分为分布力分布力和集中力集中力。沿某一面积连续作用于结构上的外力，称为分布力或分布载 荷，用 q 来表示，单位用牛顿/米2或兆牛/米2，分别记为 N/m2，和 MN/m2。压力容器内部的气体或液体对容器内壁的作用力，风对建筑物墙面的作用力及水对水坝的作用力等都是表 面力，均为分布载荷。沿长度方向分布的分布力单位用牛顿/米或千牛/米，分别记为N/m，kN/m。这里我们主要研究沿长度（轴向）方向分布的载荷，例如楼板对

4、屋梁的作用力， 即以沿梁轴线每单位长度作用多少力来度量。一般情况下 q 是轴向坐标的函数 q= q(x) ，q(x)称 为分布载荷。如果 q 在其分布长度内为常数，则称为均布载荷。2集中力或集中载荷若外力分布的面积远小于受力物体的整体尺寸，或沿长度的分布长度远小于轴线的长度， 则这样的外力可以看成是作用于一点的集中力。如火车车轮对钢轨的压力、汽车对大桥桥面 的压力等都可看作是集中力。集中力的单位是牛顿或千牛，分别记为 N，kN。3集中力偶载荷以力偶的形式施加在杆件上，如图 1 所示。图 14静载荷 动载荷按载荷随时间变化的情况，若载荷由零缓慢地增加到某一定值以后即保持不变，则这样 的载荷称为静

5、载荷。随时间变化的载荷则为动载荷。动载荷又可分为交变载荷和冲击载荷。 随时间作周期性变化的载荷称为交变载荷，如齿轮转动时轮齿的受力即为交变载荷。物体的 运动在瞬时内发生突变所引起的载荷称为冲击载荷，如急刹车时飞轮的轮轴、锻压时汽锤杆 所受的载荷、地震载荷、物体撞击构件时的作用力等都是冲击载荷。材料在静载荷和动载荷 作用下的力学行为有很大差别，分析方法也不完全相同。5约束反力与分离体相连的物体对分离体的作用称为约束，其作用力称为约束力或约束反力。有关 约束反力在前面已有描述。这里不在赘述。 通常，载荷往往是作为已知力给出的，而约束反力需要经过平衡分析求解出来。四、内力、截面法和应力的概念1.内力

6、（附加内力）物体因受外力而变形，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用就是内力。 我们知道，即使不受外力，物体的各质点之间，依然存在着相互作用的力。材料力学中的内 力，是指外力作用下，上述相互作用力的变化量，所以是物体内部各部分之间因外力而引起 的附加相互作用力，即“附加内力” 。这样的内力随外力的增大而加大，到达某一限度时就会引起构件破坏，因而它与构件的强度是密切相关的。2.截面法为了研究构件内力的分布及大小，通常采用截面法。它的过程可归纳为以下三个步骤： 1在需要求内力的截面处，假想用一垂直于轴线的截面把构件分成两个部分，保留其 中任一部分作为研究对象，称之为分离体； 2将弃去的另

7、一部分对保留部分的作用力用截面上的内力代替； 3对保留部分(分离体)建立平衡方程式，由已知外力求出截面上内力的大小和方向。 应指出，在使用截面法求内力时，构件在被截开前，静力学中的力系等效替换及力的可 传性是不适用的。截面法是材料力学分析内力的基本方法。3.应力同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相 同。但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力 FN并不能判断拉（压） 杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关，而且还与截面面积有关，即与内力在横截 面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。图 2要了解受力杆件在截面 m-m

8、上的任意一点 C 处的分布内力集度，可假想将杆件在 m-m 处截开，在截面上围绕 C 点取微小面积 A，A 上分布内力的合力为 p(图 2a)，将 p 除以 面积 A，即（1）Appmpm称为在面积 A 上的平均应力，它尚不能精确表示 C 点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值的极限，才真实地反映任意一点 C 处内力的分布状况，即 Ap （2） lim 0dAdp App A 上式 p 定义为 C 点处内力的分布集度内力的分布集度，称为该点处的总应力总应力。其方向一般既不与截面垂 直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量 （图 2b） ，法向分量称为

9、正应力正应力，用 表示；切向分量称为切应力切应力，用 表示。将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的 两类破坏现象拉断和剪切错动相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力 和切应力而不计算总应力。 应力的单位为“帕”，用 Pa 表示。1Pa=1N/m2, 常用单位为兆帕 MPa， 1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。五、杆件变形的基本形式1.基本变形(1)轴向拉伸或压缩 受力特征：受一对作用线与杆轴线重合的外力的作用。 变形特征：沿杆的轴线方向伸长或缩短。如图 3 所示。图 3 拉伸与压缩变形 图 4 剪切变形(2)

10、剪切 受力特征：杆件受一对大小相等，指向相反，作用线相距很近的横向外力的作用。 变形特征：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动，变形为平行四边形。如图 4-4 所示。 (3)扭转 受力特征：在垂直于杆件轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 变形特征：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如图 4-5 所示。图 5 扭转变形 图 6 弯曲变形(4)弯曲 受力特征：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶或在垂直于杆 件轴线方向作用横向力。 变形特征：相邻横截面将绕垂直于杆轴线的轴发生相对转动，杆件轴线由直线变为曲线。 如图 6 所示。2.组合变形当杆件同时发生两种

11、或两种以上基本变形时称为组合变形。第 4 章 拉伸与压缩本章要点本章要点 轴向拉伸与压缩的概念 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 材料拉伸压缩时的力学性能 轴向拉伸或压缩时的变形4.1 拉伸与压缩的概念和实例图 4-1 旋臂式吊车 图 4-2 紧固螺栓工程中有很多杆件是承受轴向拉伸或压缩的。例如，旋臂式吊车中的AB杆（图 4-1） 、 紧固螺栓（图 4-2）等都是受拉伸的杆件，而油缸活塞杆（图 4-3） 、建筑物中的支柱（图 4-4）等则是受压缩的杆件。其受力特点为：作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线 相重合。其变形为沿杆轴线方向的伸长或缩短，这种变形称为轴轴向拉伸或向拉伸或压缩压缩

12、，轴向拉伸或压缩杆件的力学简图如图 4-5 所示。图 4-3 油缸活塞杆图 4-4 建筑物中的支柱图 4-5 拉伸与压缩变形4.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力4.2.1 内力、轴力图为了显示拉（压）杆横截面上的内力，沿横截面 m-m，假想地把杆件分成两部分。 杆 件左右两段在横截面 m-m 上相互作用的内力是一个分布力系，其合力为 FN，如图 4-6 所示。图 4-6 拉伸与压缩时的内力 由左段的平衡条件Fx=0，得：FN-F=0， FN=F 因为外力 F 的作用线与杆件轴线重合，内力的合力 FN的作用线也必然与杆件的轴线重 合，所以 FN称为轴力。 轴力符号规定：拉为正，压为负。

13、轴力图：用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位置， 纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位 置，为强度计算提供依据。4.2.2.多力杆的轴力与轴力图【例例 4-14-1】：杆件在 A、B、C 、D 各截 面作用外力如图 4-7 所示，求 1-1，2-2，3- 3，截面处轴力。 解：解： 由截面法，沿各所求截面将杆件切 开，取左段为研究对象，在相应截面分别画上 轴力 FN1、FN2、FN3，列平衡方程 Fx=0，FN13FF=0，FN1=3F+F=4F (a) FN23F=0，FN2=3F (b) FN3+2F3FF=0，FN3

14、=3F+F2F=2F (c) 从(a)、(b)、(c)，不难得到以下结论：图 4-7 作杆的轴力图拉（压）杆各截面上的轴力在数值上等于该截面一侧（研究段）所有外力的代数和。外 力离开该截面时取为正，指向该截面时取 为负。即（4-1） 1N niiFF【例例 4-24-2】：图 4-8a 表示一等截面 直杆，其受力情况如图所示，试作其轴力 图。 解解： （1）作杆的受力图(图 4-8b)， 求约束反力 FA； 根据 Fx =0，FAF1+F2F3+F4=0 得 FA=40 kN55 kN25 kN20 kN=10 kN （2）求各段横截面上的轴力并作轴力图。 计算轴力可用截面法，亦可直接应用结论

15、（4-1）式，因而不必再逐段截开及作研究段 的分离体图。在计算时，取截面左侧或右侧均可，一般取外力较少的轴段为好。 AB 段：FN1=FA=10 kN （考虑左侧） BC 段：FN2= FA F1=10 kN40 kN=50 kN （考虑左侧） CD 段：FN3= F4F3=20 kN25 kN = -5k N (考虑右侧) DE 段：FN4= F4=20 kN（考虑右侧） 由以上计算结果可知，杆件在 CD 段受压，其它各段均受拉。最大轴力 FNmax 在 BC 段， 其轴力图如图 4-8c 所示。4.2.3轴向拉伸或压缩时横截面上的应力平面假设：变形前原为平面的横截 面，变形后仍保持为平面。由这一假设 可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相 等。又因材料是均匀的，各纵向纤维的 性质相同，因而其受力也就一样。所以 杆件横截面上各点处的正应力都相等， 等于常量。如图 4-9 所示，其计算公 式为：（4-2）AFN式中：FN轴力，A横截面面积。当为压力时，它同样可用于压应力计算。和轴力的符号规则一样，规定拉应力为正，压应力为负。注意：外力的合力作用线与轴线一致时才可应用。图 4-8