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1、256第三章 数 列3.1 数 列 第一课时 自学导引1.数列、数列的项：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 2.数列的通项公式：如果数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做 这个数列的通项公式. 3.数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图来表示一个数列， 图象是一些孤立的点. 4.根据数列的项数可以把数列分为有穷数列和无穷数列. 5.数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1，2，n)的函 数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 思考导学
2、1.简述数列与数集的区别. 【答】 数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同 的. 2.每个数列是否都存在通项公式？ 【答】 并不是每个数列都能写出数列的通项公式，比如：正整数中的质数按从小到大的顺序排列构成的 数列 2，3，5，7，11，13，17，至今为止也无人能够写出它的一个通项公式；当然有穷数列一定有 通项公式并且可以用项数 n 的多项式表示. 典例剖析 例 1根据所给数列的前六项，试写出数列的一个通项公式 (1)1，3，5，7，9，11，；(2)1，2，3，4，5，6，； (3)9，99，999，9999，99999，999999，； 【解
3、】 (1)an=2n1(2)an=(1)n+1n(3)an=10n1 例 2在数列an中 a1=3,a10=21,通项公式是项数的一次函数. (1)求数列an的通项公式，并求 a2003.(2)若 bn=a2n求数列bn的通项公式. 【解】 (1)设 an=An+B，由已知：an=2n+1 则 a2003=22003+1=4007(2)bn=a2n=2(2n)+1=4n+1 1221103BABABA解得【点评】 求 a2n即将 an=2n+1 中的 n 换成 2n，实际上是求出了数列an中偶数项按原来的顺序排列构成 的新数列的通项公式.还可考虑求 a2n1、a2n+1、a3n+4等等. 例
4、3已知数列an的通项公式为 an=n29n+20 (1)试问 2 是否是数列an中的项？(2)若 an0，求 n.257【解】 (1)令 n29n+20=2，即 n29n+18=0解得 n=3 或 n=6 即 2 为数列an中的第 3 项或第 6 项. (2)由 an0 即 n29n+200(n4)(n5)04n5 又 nN*n=4 或 n=5. 【点评】 解关于 n 的方程或不等式要注意应在正整数范围内求解. 随堂训练 1.数列 1，0，1，0，1，的一个通项公式是A.an= B.an=C.an=D.an=2) 1(11n2) 1(11n21) 1(n2) 1(1n【解析】将数列与 对应项相
5、加得到的数列即是.21 2) 1(1n【答案】B2.设数列，则 2是这个数列的11,22 ,5,25A.第六项 B.第七项C.第八项D.第九项【解析】可观察所给数列的通项公式是 an=，由得 n=7【答案】B13 n5213n3.已知 an=n2+n,那么 A.0 是数列中的一项B.21 是数列中的一项 C.702 是数列中的一项D.30 不是数列中的一项 【解析】由 n2+n=702 即 n2+n702=0 得：n=26 或 n=27(舍去)【答案】C4.函数 f(n)=当自变量依次取正整数 1，2，3，n,时对应的函数值，以数列形式表示为2)1( ) 1( nnA.1,1,1,1B.1,1
6、,1,1,1,1C.1,1,1,1,1,1,，2)1( ) 1( nnD.1,1,1,1,1,1,，2)1( ) 1( nn【解析】显然数列f(n)为无穷数列【答案】D5.已知数列an的通项公式 an (nN*)，那么是这个数列的第_项.)2(1 nn1201【解析】令 an=即,得 n=10，或 n=12(舍去)【答案】101201 1201 )2(1nn6.已知数列an的通项公式为 an=9n()n，则此数列的前 4 项分别为_.32【解析】a1=6,a2=8,a3=8,a4=【答案】6，8，8，964 964强化训练 1.数列 1，2，4，8，16，32，的一个通项公式是 A.an=2n
7、1B.an=2n1C.an=2nD.an=2n+1 【解析】1=20，2=21，4=22，8=23，16=24,32=25an=2n1【答案】 B 2.数列 1，1，2，2，3，3，4，4，的一个通项公式是( )258A.an=B.an=22) 1(11n n为偶数为奇数nnnn2C.an=D.an= 为偶数为奇数nnnn2121 为偶数为奇数nnnn221【解析】将 1，0 ，1，0，1，0，与 1，2，3，4，5，6，数列对应相加得到的数列为 2，2，4，4，6，6，an=【答案】A22) 1(11n n3.数列 1，的一个通项公式是544 ,433 ,322 ,21A.an=B.an=C
8、.an=D.an=12nn 122 nnn 112 nnn 122 nnn【解析】 a1=1=1+ a2=2=2+ a3=3=3+ a4=4=4+ an=n+21 21 32 32 43 43 54 54 12 12nnn nn【答案】B 4.已知数列an的通项公式为 an=n28n+15,则 3 A.不是数列an中的项 B.只是数列an中的第 2 项 C.只是数列an中的第 6 项D.是数列an中的第 2 项或第 6 项 【解析】令 an=3,即 n28n+15=3 解得 n=2,或 n=6【答案】D5.数列的一个通项公式是_.,177,73,115,21,53【解析】a1=, an=【答案
9、】an=175,146 73,115,84 21 , 535432aaaa232 nn 232 nn6.数列 0，1，0，2，0，3，的一个通项公式是_.【解析】可以看作由 an=与 an=对应项之积构成的数列，因此数列 0,1,0,2,0,3,的一个通项2) 1(1n 2n公式为 an=n【答案】n4) 1(1n 4) 1(1n7.根据数列的前 n 项写出数列的一个通项公式.(1)2，2，4，4，6，6，(2)，(3)1，(4)1618 ,816 ,414 ,212716,59,34a,b,a,b,a,b,【解】 (1)an=+n(2) an=2n+(3)an=(1)n+1 (4)an=2)
10、 1(11nn21 122nn2591) 1(22nbaba8.已知数列an的通项公式是 an=2+，问 1 和 32 是不是数列an中的项.如果是,那么是第几项？230200 nn【解】 令 an=2+=1，整理得:n230n+200=0，即(n10)(n20)=0,n=10 或 n=20230200 nn1 是数列an的第 10 项或第 20 项；令 an=2+=32,即 30n2+30n200=0230200 nn整理得 3n2+3n20=0，方程在 N*中无解.32 不是数列an中的项. 9.在数列an中，a1=2,a17=66，通项公式是项数 n 的一次函数.(1)求数列an的通项公
11、式；(2)88 是否是 数列an中的项. 【解】 (1)设 an=An+B,由 a1=2,a17=66得an=4n2(2)令 an=88,即 4n2=88 得 n=N* 24,66172BABABA解得24588 不是数列an中的项. 10.若数列an的通项为 an=2n2+13n，画出它在 x 轴上方的图象，请根据图象求出 an的最大值；并在同 一坐标系中画出函数 f(x)=2x2+13x 的图象，根据图象求出 f(x)的最大值，并与 an的最大值进行比较.【解】 令 an0 即2n2+13n0,解得：0n,又 nN*n=1,2,3,4,5,6;213a1=11,a2=18,a3=21,a4
12、=20,a5=15,a6=6an的最大值为 a3=21,f(x)的最大值为 21,当 n 取距最近的正整数时，81 413an取得最大值.(图象为孤立的点，略) 学后反思 观察数列的前 n 项归纳出数列的一个通项公式是这堂课的难点.复杂的数列要把项“分解”开(如：分子、 分母、符号等)，再找它们与项号 n 的关系.为把握起见，可给求出的通项公式中的 n 赋值来验证公式的正 确性. 教学建议 本节重点是数列的概念和通项公式，难点是根据数列的前 n 项观察、归纳数列的一个通项公式.教学中需 用函数的观点解释数列的概念和通项公式，加深对通项公式的理解，通过例题和练习让学习接触较多的 具体数列，帮助学
13、生分析观察数列的项与项数的对应关系，进而归纳出通项公式. 第二课时 自学导引1.如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任一项 an与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2.若 an+1an对任意的正整数 n 都成立，则数列an可称为递增数列；若 an+1an对任意的正整数 n 都 成立，则数列an可称为递减数列；若 an+1=an对任意的正整数 n 都成立，则数列an可称为常数列. 思考导学 1.数列的递推公式的两个要素是什么？ 【答】 首先要提供首项(或前几项)；再就是要给递推关系即任一项 an可用 an1(或前几项)表示.
14、 2.简述数列递推公式与通项公式的关系. 【答】 数列递推公式与通项公式都能确定数列，但用通项公式求数列中的项，或判断一个数是否是数列 中的项更为方便，因此我们需要考虑能否利用数列的递推公式求出数列的通项公式等问题.260典例剖析 例 1已知数列an满足 an+1=2an+1，nN* (1)若 a1=1，写出此数列的前 4 项,并推测数列的通项公式. (2)若 a1=1,写出此数列的前 4 项，并推测数列的通项公式. 【解】 (1)a1=a2=a3=a4=1，可推测数列an的通项公式 an=1.(2)a1=1,a2=21+1=3,a3=23+1=7，a4=27+1=15.可推测数列 an的通项公式为 an=2n1. 【点评】 数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项(基础)两个因素所确定的，既便递推关系完全一样， 而首项不同就可得到两个不同的数列. 例 2已知数列an满足 a1=1,an+1=an+，且 a2=3，a4=15，求常数 , 的值. 【解】 由 a1=1,an+1=an+ 知a2=a1+即+=3a3=a2+=3+ a4=a3+=32+即 32+=15解得 63 12 或【点评】 本题就是用待定系数法解决了递推关系中的系数.当然还可以继续解决已知递推公式，求数列的 通项公式等问题.例 3已知数列an的通项公式为 an=(1)求证an为递减数列，(2)若 Sn=a1
