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1、第三章第三章 初等数学模型初等数学模型所谓初等数学模型主要是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，而不是高 等的。在解决实际问题的过程中，往往主要是是看解决问题的效果和应用的结果如何，而 不在于用了初等的方法还是高等的方法，对于数学建模也是这样。本章介绍了量纲分析法、 比例与函数建模法，并给出了相应的一些模型。第一节第一节 量纲分析法量纲分析法量纲分析提出于 20 世纪初，是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中 建立数学模型的一个有力工具。它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原 则，确定各物理量之间的关系。 1.1 量纲齐次原则量纲齐次原则 许多物理量是有量纲的
2、，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度 ， 质量和时lm 间 的量纲作为基本量纲，记为t； TtMmLl,而速度的量纲可表示为. fv，力 21, MLTfLTv在国际单位制中，有 7 个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为 L、M、T、I、J、和 N，称为基本量纲。任一个物理量 q 的量 纲都可以表成基本量纲的幂次之积， JNITMLq量纲齐次性原则量纲齐次性原则 用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间
3、关系。 先看一个具体的例子，再给出。 1.2 量纲分析的一般方法量纲分析的一般方法例 1 （单摆运动）质量为的小球系在长度为 的线的一端，线的另一端固定，小ml 球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期 的表达式。mgt解：在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式glmt,-（1.1）321 1glmt 其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1.1）式的量纲表达式有32,整理得： -（1.2） 321glmt 33212TLMT由量纲齐次原则应有 - 12003321（1.3）解得： 代入（31）得 -,21,21,0321glt（1.4） （1.4）式与单摆的周
4、期公式是一致的 1.3 Buckingham Pi 定理定理 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理（定理（Buckingham Pi 定理）定理） 设 n 个物理量之间存在一个函数关系nxxx,21LL-（1.5）0,21nxxxfLL为基本量纲，。的量纲可表示为 mxxLL1nm 1xnixxij jmji, 2, 1 1LL 矩阵称为量纲矩阵量纲矩阵，若的秩则（1.5）式与下式等价，mnijA )(A, rRankA 0)(21rnFLL其中 F 为一个未定的函数关系，为无量纲量，且可表示为ss-(1.6)(1s iinisx 而为线性齐次方程组的基本解向
5、量. )()()( 2)( 1)(s nsssLL0TA利用 Pi 定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量。rnLL21第二节第二节 航船的阻力航船的阻力长 吃水深度的船以速度航行，若不考虑风的影响，航船受到的阻力除依赖于lhvf船的诸变量以外，还与水的参数密度 P，粘性系数, 以及重力加速度 g 有vhl、关。 我们利用 pi 定理分析 f 和上述物理之间的关系 1 航船问题中涉及的物理量及其量纲为 211312LTgMTLMLLTvLhLlLMTf我们要寻求的关系式为 -（2.1）0),( gvhlf这些物理量中涉及到的基本量纲为 L、M、T 2 写出量纲距阵TML AT
6、 2101002011000111311113Arank3 解齐次线性方程组 , 可得 个基本解向量 0TA4Arankn TTTT）、（）、（、00120210111010) 1002010()0000110()4()3()2()1(由（1.6）式，可给出 4 个无量量纲-（2.2） 122 41 32 21 1vfllvglvlh由 Pi 定理， （2.1）等价于下列方程 -（2.3）0),(4321这里是未定的函数 由（2.2） ， （2.2）可得阻力 f 的显式表达式，-（2.4）),(32122vlf 其中是由（2.3）可得到的未知的函数关系,在力学上, 称为 Froude 数，记为
7、 Fr ;lgv称为 Reynold 数，记为 Re , 因此（2.4）又可写为lv-（2.5）Re),(22Frvlfhl 4.下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。 设:分别表示模型和原型中gvhlfgvhlf 、和、的各物理量，由(2.5)有 ),lg,(22 lvv hlvlf ),gl,(22 vlv hlvlf当无量纲量 -（2.6） vllvvv hl hlgllg成立时 , 可得 -（2.7） 2lvvl ff则此时由模型船的阻力，及其它的；可确定原型船的阻力f 、vlvl。f 下面,我们讨论一下(2.6)成立的条件,如果在实验中采用跟实际同样的水质,则 又;,ppg
8、g故可得 ： -（2.8）ll vv ll vv hl hl 要使得(2.8)成立 , , 必有；也即模型船与原型船一样大，这显然排除了hhll,物理模拟的可行性。若考虑选用不同的水质，仍设 则(2.6)式,ts 化为-（2.7） ll vv ll vv hl hl由(2.7)可得 ，23 ll 若按 1：20 的比例，显然无法找到如此小的粘性系数的液体。0110实际上的一种近似处理方法是，在一定条件下 Re 数的影响很小，这样可近似得到，)lg,(22v hlvlf类似地分析，只要 即有 ll vv hl hl -（2.8）3 ll ff由（2.8）式就容易确定原型船的阻力f 第三节第三节
9、抛射问题抛射问题下面我们通过一个例子，介绍如何使用无量纲化方法简化模型。 抛射问题抛射问题：在某星球表面以初速度竖直向上发射火箭，记星球半径为，星球表面vr 重力加速度为，忽略阻力，讨论发射高度随时间 T 的变化规律。gx模型建立：设轴竖直向上， 时 ，火箭和星球质量分别记为和，x0t0x1m2m由牛顿第二定律和万有引力定律可得: -（3.1）221 1)(rxmmkxm 1 kvgtc1 rgtcx12,gvr以下，我们利用不同的和化简（3.2） cxct1. 令 ; 则1, rvtrxcc1,rvttrxx由 , t dxdvx 1 0 vgt-（3.4）1)0(0)0(,) 1(122x
10、xrgv xx则有:bT-（4.6）dTTklTTkdTTkQbbaa2 121 12 由（4.6）式可得 -（4.7） )(2 2121TTdl kkTTTTTTbbaba记 dklks11 则 -)(2221TTsTTTbb （4.8） - -)()(22212TTsTTTTbb （4.9） -)(21)(212TTSTTb（4.10）-)()2(1211 2TTdk SQ （4.11） 考虑两者之比 -sQQ 2212（4.12）显然 , 也即双层玻璃的热量损失较小. 12QQ 模型分析与应用： 常用玻璃的热传导系数 ，cscmJk 33 1108104而不流通,干燥空气的热传导系数 ，
11、cscmJk4 2105 . 2若取 , 则 ， hdlhSh3216故 -（4.13）hQQ 81112 若取 ， 则 又此可见双层玻璃的保暖效果是相当可观的。4h33112 QQ我国北方寒冷地区的建筑物，通常采用双层玻璃；由（4.13）式 h=4 时, , h 再大，热量传递的减少就不明显了，再考虑到墙体的厚度；所以12331QQ 建筑规范通常要求 .4h 4.3 席位分配模型席位分配模型 问题：某校有 200 名学生，甲系 100 名，乙系 60 名，丙系 40 名；若学生会中学生代 表有 20 个席位，则公平又简单的分法应各有 10，6，4 个席位。若丙系有 6 名学生分别转 入甲、乙两系各 3 人，此时各系的人数为 103，63，34；按比例席位分配应为 10.3，6.3 和 3.4，出现了小数，19 个整数席位分配完后，最后一席留给小数部分最大的丙系，分别为 10，6，4。为方便提案表决，现增加 1 席共 21 席，按比例计算甲、乙、丙三系分别
