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1、启航书院 高中数学选修 2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性 质12.2.2 椭圆的简单几何性质（1）考点一：椭圆的几何性质考点一：椭圆的几何性质 1.椭圆的范围椭圆的范围对于椭圆，即，b.也就是说椭圆位于直线)0( 12222 ff baby axbybaxa,xay所围成的矩形框内。byax,从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_。椭圆上点的纵坐标的范围是._。2.椭圆的对称性椭圆的对称性对于椭圆，椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。x 轴、y 轴是其对称轴，原点是)0( 12222 ff baby ax椭圆的对称中心，又是椭圆的中心。在椭圆中，)0( 12222 ff baby ax将
2、换成,方程表达式_,说明椭圆关于_对称，也就是说若点(a,b)在椭圆上，那么点_也一定在椭圆yy 上。 将换成,方程表达式_,说明椭圆关于_对称，也就是说若点(a,b)在椭圆上，那么点_也一定在椭圆xx 上。 将分别换成,方程表达式_,说明椭圆关于_对称，也就是说若点(a,b)在椭圆上，那么点_也一yx,yx , 定在椭圆上。特别提醒特别提醒：椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线以及其中垂线。 3 椭圆的顶点椭圆的顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。椭圆有四个顶点：A1_,B1_,C1_,D1_.)0( 12222 ff baby ax椭圆的长轴、短轴I、线段 A1A2
3、叫椭圆的长轴，A1A2=2a 称为长轴长，a 叫做长半轴长。II、线段 B1B2叫椭圆的短轴，B1B2=2b 称为短轴长，b 叫做短半轴长。 4.4.椭圆的离心率椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率：.ac ace22由于 ac0，所以离心率 e 的取值范围是_.若 e 越接近 1，则 c 越接近 a，从而22cab越_，因而椭圆越_.若 e 越接近 0，则 c 越接近 0，从而22cab越_，因而椭圆越接近于_.特别地、当时，此时两个焦点重合，椭圆就变成了圆，此时方程为.ba 0c222ayx学习规律方法总结：学习规律方法总结：对于椭圆标准方程对于椭圆标准方程所表示的椭圆的存在
4、范围是什么？)0( 12222 ff baby ax上述方程表示的椭圆有几个对称轴？分别是_ _,几个对称中心？ 椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？ 对称轴与长轴、短轴是什么关系？ 2a 和 2b 是什么量？a 和 b 是什么量？ 回顾关于离心率讲了几点？启航书院 高中数学选修 2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性 质25.焦点在焦点在 x 轴和在轴和在 y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：轴上的两种标准方程的几何性质作以比较： 曲线椭圆定义平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数 2(大于F1F2）的点的轨迹。a标准方程 )0( , 12222 baby ax)0( , 1222
5、2 babx ay图形范围顶点坐标对称轴焦点坐标离心率对称中心例例 1：已知椭圆的离心率，求 m 的值及椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶)0()3(22fmmymx23e点坐标。变式 1：求椭圆的长轴长和短轴长、焦192522 yx点坐标、顶点坐标、离心率并画出草图。求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、191622 yx顶点坐标、离心率并画出草图。启航书院 高中数学选修 2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性 质3求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、369422 yx 顶点坐标、离心率。椭圆的中心在原点、焦点在 x 轴上，焦距为2，且经过点 A(-1,).(I)求满足条件的椭圆方程；（II）求该2
6、3椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率。已知椭圆的离心)0)(3()3(22fmmmymx率为，求 m 的值及椭圆的长轴长和短轴长、焦23e点坐标、顶点坐标。椭圆与的192522 yx)90( 125922 pp kky kx 关系为_.A、有相等的长、短轴长 B、有相等的焦距 C、有相等的焦点 D、有相等的长、短轴椭圆的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长122myx 的两倍，则 m 的值为_.例例 2 2：如图，点 A、B 分别是椭圆长轴的左、1203622 yx右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.求点 P 的坐标；设 M 是椭圆长 轴，AB 上的
7、点，M 到直线 AP 的距离等于MB，求椭 圆上的点到点 M 的距离的最小值。d启航书院 高中数学选修 2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性 质4变式 2：把椭圆的长轴 AB 分成 8 等分，1162522 yx过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F 是椭圆的一个焦 点，则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F +P7F=_.设 F 是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有16722 yx21 个不同的点,使FP1，FP2，.)3 , 2 , 1( ipiFP3.，组成一列等差数列，则的取值范围为d _考点二、由椭圆的几何性质确定椭圆的标
8、准方程考点二、由椭圆的几何性质确定椭圆的标准方程 例例 3 3：已知椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 A(2,-6),求椭圆的标准方程。变式 3：已知椭圆的一个焦点 F(,0),且过点 A(32,1),求椭圆的标准方程。32已知焦点在 x 轴上，离心率的椭圆经过点 A(53e,-2),求椭圆的标准方程。235启航书院 高中数学选修 2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性 质5在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直， 且焦距为 6，求椭圆的标准方程。已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一 个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且cosOFA=.求椭圆的标准方程.
9、32已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为和，过 P 作长轴的垂线恰好354 352过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。如图，已知椭圆的中心在原点，它在 x 轴上的一个焦 点 F 与短轴的两个端点 B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为，求这510 个椭圆的方程。考点三、椭圆离心率的相关计算考点三、椭圆离心率的相关计算例例 4 4：设椭圆(b0)上有点 P使OPA=90(A 为长轴有顶点） ，求椭圆离心率的范围。12222 by axa),(21xx启航书院 高中数学选修 2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性 质6变式 4：已知椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中 项，则椭圆的离心率为_.若椭圆的离心率为，则 K=_.19822 y kx 21已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭 圆的离心率为_.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则椭 圆的离心率为_.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角 形，则该椭圆的离心率为_.椭圆(b0)的左焦点为12222 by axa是两个顶点，若到直线), 0(),0 ,(),0 ,(1bBaAcF1FAB 的距离为，求椭圆的离心率。7b启航书院 高中数学选修 2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性 质7
