《高等数学 第一章 函数、极限与连续小结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 第一章 函数、极限与连续小结（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 函数、极限与函数、极限与连续连续微分微分小小结结一、概念部分：一、概念部分： 1、函数的概念；复合函数和初等函数的概念； 2、函数极限的定义；无穷大量与无穷小量的概念；极限的法则；两个重要极限； 3、函数连续的概念；连续的判断；间断点的判断与分类；初等函数的连续性；闭区 间上连续函数的性质。二、运算部分：二、运算部分： 1、求极限 （1）利用极限的四则运算法则； （2）对于分式的极限，利用无穷大量与无穷小量的关系； （3）对于分式的极限，若分子分母的极限都为零，进行因式分解，消去公因式；（4）对于，其中的多项式，可以利用公式。)()(limXQxPxxxQxP。)()(A（5）利
2、用两个重要极限公式； （6）利用函数的连续性； （7）利用无穷大量与无穷小量的性质； （8）利用替换等价无穷小量的办法； （9）对于分段函数，在分段点的两侧比较左右极限的办法； （10）对于不定型的极限应用洛必达法则（留待下一章介绍）。三、典型三、典型题题例：例：(一一)、 、选择题选择题： ：1、函数在点处有定义是存在的（ ）)(xfy 0x)(lim0xf xxA、必要非充分条件； B、充分非必要条件； C、充分必要条件； D、无关条件。2、等于（ ）)(sinlim220。mxmxxA、； B、 ； C、； D、。012m21 m3、等于（ ） kexkxx。2)1 (limA、； B、
3、； C、； D、。2221 214、当时，下列（ ）为无穷小量0xA、； B、； C、； D、。xexsinxxsin x1sin5、在趋近于（ ）时，不是无穷小量。x11) 1(3xxxxyA、； B、 ； C、； D、。1016、设时， （ ）0)(1)(22xxxgexfx。A、高阶无穷小量； B、低阶无穷小量； )()(xgxf。)()(xgxf。C、等价无穷小量； D、同阶、而等价的无穷小量。)()(xgxf。)()(xgxf。7、设 在内连续，则分别为（ ） xbxxaxxx xf 1 ,10 ,0, 2 )(2),(ba,A、； B、； C、； D、。0 , 03 , 22 ,
4、31 , 18、设在处连续，且，则（ ）)0(sin)(xxaxxf0x21)0(faA、； B、； C、； D、。221 212(二二)、填空、填空题题： ：1、设，则 )()()(3)(lim, 3)(lim 11xhxfxgxhxg xx 。 )(43lim21xfx x。2、当时，函数，则 。xxxf1)( )(2limxxf x3、设，则 。 0,210, 00,21)(xxxxx xf )(lim 0xf x4、设在点处连续，则 。 00)(xxaxexfx。0xa5、设 。 )()(lim2112)( 12 3xfxfxxxxf x。(三三)、 、简简答答题题： ：1、设。bax
5、baxxx51lim212、设。babaxxxx0)11(lim2 3、求下列函数的间断点，并判断其类别：（1）； （2）；11)(32xxxfxxxfsin)(（3）； （4）。 020sin )( xxxx xf 。 0101sin)( xxxxf 。4、试判定方程0) 1)(3()3)(2()2)(1(xxxxxx有几个根？这些根分别在什么范围内？5、判定方程至少有一个正根。033 xx6、设处连续，且。2)(xxf。)44 21)(lim3)2(22 xxxff x。7、若当，求。2tan03 3xaxx。a(四四)、 、计计算算题题： ：1、； 2、；xxxx10)22(lim11)
6、 1(lim21xxxx3、； ； ；1252lim22xxxxx4233lim32xxxxx3423lim23xxxxx4、； ； ；xxxsin)21ln(lim 0xexx3tan1lim20xxxxcot0)11(lim5、； 6、123lim2nnnnxxxxsin432lim337、； 8、（令）。)sin1(sinlimxx x xxxsin1lim211 xt四、四、习题习题解答：解答：（一）、（一）、选择题选择题： ：1、函数在点处有定义是存在的（D）)(xfy 0x)(lim0xf xxA、必要非充分条件； B、充分非必要条件； C、充分必要条件； D、无关条件。2、等于（
7、）)(sinlim220。mxmxx2mA、； B、 ； C、； D、。012m21 m3、等于（B） kexkxx。2)1 (limA、； B、； C、； D、。2221 214、当时，下列（B）为无穷小量0xA、； B、； C、； D、。xexsinxxsin x1sin5、在趋近于（B）时，不是无穷小量。x11) 1(3xxxxyA、； B、 ； C、； D、。1016、设时， （D）0)(1)(22xxxgexfx。A、高阶无穷小量； B、低阶无穷小量； )()(xgxf。)()(xgxf。C、等价无穷小量； D、同阶、而等价的无穷小量。)()(xgxf。)()(xgxf。7、设 在内
8、连续，则分别为（B） xbxxaxxx xf 1 ,10 ,0, 2 )(2),(ba,A、； B、； C、； D、。0 , 03 , 22 , 31 , 18、设在处连续，且，则（C）)0(sin)(xxaxxf0x21)0(faA、； B、； C、； D、。221 212二、填空二、填空题题： ：1、设，则 12 。)()()(3)(lim, 3)(lim 11xhxfxgxhxg xx 。 )(43lim21xfx x2、当时，函数，则 2 。xxxf1)( )(2limxxf x3、设，则 。 0,210, 00,21)(xxxxx xf )(lim 0xf x214、设在点处连续，则
9、 1 。 00)(xxaxexfx。0xa5、设 。 )()(lim2112)( 12 3xfxfxxxxf x。25三、三、简简答答题题： ：1、设。baxbaxxx51lim21解：51) 1() 1() 1(lim1lim2121xbaxax xbaxxxxQ 67 5201 ba aba2、设。babaxxxx0)11(lim2 解：01)1 ()()1 (lim11lim222 xbxbaxa xbbxaxaxxxxQ 11001babaa3、求下列函数的间断点，并判断其类别：（1）是第一类、可去间断点；111)(32 xxxxf（2）是第一类、可去间断点；0sin)(xxxxf（3
10、）是第一类、可去间断点；0 020sin )( x xxxx xf 。（4）是第二类、振荡间断点。0 0101sin)( x xxxxf 。4、试判定方程0) 1)(3()3)(2()2)(1(xxxxxx有几个根？这些根分别在什么范围内？解：令) 1)(3()3)(2()2)(1()(xxxxxxxf，02)31)(21 () 1 ( f，0) 12)(32()2(f，0)23)(13()3(f，0)2() 1 (2 , 1 ff。Q，0)(2 , 1 11xfx。，0)3()2(3 , 2ff。Q，0)(3 , 222xfx 。因为二次函数至多有二个实数根，因此可知，即为所求的两个实数根，
11、且分别在区间内。21xx 。)32()21 (，5、判定方程至少有一个正根。033 xx解：令3)(3xxxf，03)0( f， ，07)2(f，0)2()0(2 , 0ff。Q，0)(2 , 0 f。即至少存在一个正根。6、设处连续，且。2)(xxf。)44 21)(lim3)2(22 xxxff x。解：处连续，且，2)(xxf。Q3)2(f3)2()(lim 2 fxf x)44 21(lim)(lim)44 21)(lim22222 xxxfxxxf xxx43 )2)(2(2lim3)2)(2(42lim3)44 21(lim)(lim 02222 xxx xxx xxxf xxxx
12、7、若当，求。2tan03 3xaxx。a解：。21121222tan lim2tan lim330330 aaxaxaxxxx四、四、计计算算题题： ：1、；e eexxxxxxxxxxxxxxx 21212120212011010 )21(lim)21(lim)22()22( lim)22(lim2、；0) 1)(1(1) 1(lim11) 1(lim 121 xxxx xxxxx3、； ； ；21 1252lim22 xxxxx04233lim32 xxxxx 3423lim23xxxxx4、；22limsin)21ln(lim 00 xx xxxx32 32lim3tan1lim 020 xx xexxx；2 1110 tan1tan10cot0 )1 ()1 (lim)1 ()1 (lim)11(limeeexxxx xxxxx xxxxx
