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1、第五章第五章 第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用 题组一题组一等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题1.已知已知 a，b，c 成等比数列，成等比数列，a，m，b 和和 b，n，c 分别成两个等差数列，则分别成两个等差数列，则 等于等于( )amcnA4 B3C2 D1解析：解析：由由题题意得意得 b2ac,2mab,2nbc， ，则则 amcnancmmnabc2cab2ab2bc22.abacacbcabacb2bc2答案：答案：C2数列数列an是各项均为正数的等比数列，是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且是等差数列，且 a6b7，则有，则有 ( )Aa3a9b4b
2、10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与与 b4b10的大小不确定的大小不确定解析：解析：a3a9222a62b7b4b10，当且，当且仅仅当当 a3a9时时，不等式取，不等式取a3a9a2 6等号等号答案：答案：B3(文文)已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn且满足且满足 a23，S636.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn是等比数列且满足是等比数列且满足 b1b23，b4b524.设数列设数列anbn的前的前 n 项和为项和为Tn，求，求 Tn.解：解：(1)数列数列an是等差数列，是等差数列，S63(a1a6)3(
3、a2a5)36.a23， ，a59， ，3da5a26， ，d2， ，又又a1a2d1， ，an2n1.(2)由等比数列由等比数列bn满满足足 b1b23， ，b4b524， ，得得q38， ，q2， ，b4b5b1b2b1b23， ，b1b1q3， ，b11， ，bn2n1， ，anbn(2n1)2n1.Tn1132522(2n3)2n2(2n1)2n1， ，则则 2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n， ，两式相减得两式相减得(12)Tn112222222n222n1(2n1)2n，即，即Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n2)(2n1)2n(32n)2n3，
4、，Tn(2n3)2n3.3(理理)(2010长沙模拟长沙模拟)已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，a23， a56.(1)求数列求数列an的通项公式与前的通项公式与前 n 项的和项的和 Mn；(2)记记 cn，求，求cn的前的前 n 项和项和 Sn.1nan解：解：(1)设设an的公差的公差为为 d， ，则则： ：a2a1d， ，a5a14d.a23， ，a56， ，则则Error!， ，a12， ，d1.an2(n1)n1.Mnna1d.n n1 2n23n2(2)由由 cn ， ，1nan1n n1 1n1n1Sn(1 )( )( )( )12121313141n1n11.1n1n
5、n1题组二题组二以等差数列为模型的实际问题以等差数列为模型的实际问题4.气象学院用气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第用，第 n 天的维修保养费为天的维修保养费为元元(nN)，使用它直至报废最合算，使用它直至报废最合算(所谓报废最合所谓报废最合n4910算是指使用的这台仪器的平均耗资最少算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了为止，一共使用了 ( )A600 天天 B800 天天C1 000 天天 D1 200 天天解析：解析：由第由第 n 天的天的维维修保养修保养费为费为
6、元元(nN)，可以得出，可以得出观测仪观测仪的整个耗的整个耗资费资费用，用，n4910由平均由平均费费用最少而求得最小用最少而求得最小值值成立成立时时相相应应 n 的的值值 设设一共使用了一共使用了 n 天，天，则则使用使用 n 天的平均耗天的平均耗资为资为4.95，当且，当且仅仅当当时时，取得，取得3.2 104 5n4910 n2n3.2 104nn203.2 104nn20最小最小值值，此，此时时 n800.答案：答案：B5若数列若数列an满足满足d(nN，d 为常数为常数)，则称数列，则称数列an为调和数列已知为调和数列已知1an11an数列数列为调和数列，且为调和数列，且 x1x2x
7、20200，则，则 x5x16_.1xn解析：解析：由由题题意，若意，若an为调为调和数列，和数列，则则为为等差数列，所以等差数列，所以为调为调和数列，和数列，则则可得可得1an1xn数列数列xn为为等差数列，由等差数列的性等差数列，由等差数列的性质质可知，可知，x5x16x1x20x2x1920.20010答案：答案：206(2010安庆模拟安庆模拟)某市某市 2009 年年 11 份曾发生流感，据统计，份曾发生流感，据统计，11 月月 1 日该市新的流感病日该市新的流感病毒感染者有毒感染者有 20 人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感
8、染者增加 50 人，由人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少者平均比前一天的新感染者减少 30 人，到人，到 11 月月 30 日止，该市在这日止，该市在这 30 日内感染该日内感染该病毒的患者总共病毒的患者总共 8670 人，问人，问 11 月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数这一天的新患者人数解：解：设设第第 n 天新患者人数最多，天新患者人数最多，则则从从 n1 天起天起该该市医市
9、医疗疗部部门门采取措施，于是，前采取措施，于是，前 n天流感病毒感染者天流感病毒感染者总总人数，构成一个首人数，构成一个首项为项为 20，公差，公差为为 50 的等差数列的的等差数列的 n 项项和，和，Sn20n5025n25n(1n30， ，nN)，而后，而后 30n 天的流感病毒感染天的流感病毒感染n n1 2者者总总人数，构成一个首人数，构成一个首项为项为 20(n1)503050n60，公差，公差为为30， ，项项数数为为30n 的等差数列的和，的等差数列的和，Tn(30n)(50n60)(30)65n22 30n 29n 2445n14 850，依，依题设题设构建方程有，构建方程有，
10、SnTn8 670， ，25n25n(65n22 445n14 850)8 670，化，化简简， ，n261n5880， ，n12 或或 n49(舍舍)，第，第 12 天的新天的新的患者人数的患者人数为为 20(121)50570 人故人故 11 月月 12 日，日，该该市感染此病毒的新患者人市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数数最多，新患者人数为为 570 人人题组三题组三以等比数列为模型的实际问题以等比数列为模型的实际问题7.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，个，现在有一个这
11、样的细菌和现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )A6 秒钟秒钟 B7 秒钟秒钟C8 秒钟秒钟 D9 秒钟秒钟解析：解析：设设至少需要至少需要 n 秒秒钟钟， ，则则 121222n1100， ，100， ，n7.12n12答案：答案：B8某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第 1 名得全部资金的一半多一万元，名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元
12、，到第 10 名名恰好资金分完，则此科研单位共拿出恰好资金分完，则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励万元资金进行奖励解析：解析：设设第第 10 名到第名到第 1 名得的名得的奖奖金数分金数分别别是是 a1， ，a2， ， ，a10， ，则则 an Sn1， ，则则12a12， ，anan1 an，即，即 an2an1，因此每人得的，因此每人得的奖奖金金额组额组成以成以 2 为为首首项项，以，以 2 为为12公比的等比数列，所以公比的等比数列，所以 S102 046.2 1210 12答案：答案：2 046题组四题组四数列与函数、不等式等问题的综合应用数列与函数、不等式等问题的综合应用9在如图所
13、示的表格中，如果每格填上一个数后，在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz 的值为的值为 ( )A1 B2C3 D4解析：解析：由由题题知表格中第三列成首知表格中第三列成首项为项为 4，公比，公比为为 的等比数列，故有的等比数列，故有 x1.根据每行成根据每行成12等差数列得第四列前两个数字依次等差数列得第四列前两个数字依次为为 5， ，故其公比，故其公比为为 ，所以，所以 y5( )3 ，同理，同理52121258z6( )4 ，故，故 xyz2.1238答案：答案：B10(2010安庆模拟安庆模拟)已知函数已知函数 f(x)x2bx 的图象在点的图象在点 A(1，f(1)处
