《高数第二篇线性代数 第三章 矩阵的进一步讨论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第二篇线性代数 第三章 矩阵的进一步讨论（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三章第三章 矩矩阵阵的的进进一步一步讨论讨论基基础训练题础训练题1. 矩阵 A 的秩指的是什么？解：A 中非零子式的最大阶数,若没有非零子式,则 A 的秩为零.2. 设 F 上的矩阵 A 的秩是 r，下列论断哪些是对的？哪些是错的？是对的，给出证明；是错的，举出反例. （1）A 中只有一个 r 阶子式不为零；解：错.例如 A=,秩 A=1,但一阶非零子式有两个. 0021（2）A 中所有 r1 阶子式全为零；解：错.例如 A=,秩 A=2, 但 A 有 5 个 2-1 阶子式非零. 420210001（3）A 中可能也有 r1 阶子式不为零；解：错.否则与秩 A=r 矛盾.（4）A 中至少
2、有一个 r 阶子式不为零.解：对.若 A 中 r 阶子式全为零,则秩 Ar 矛盾.3. 取何值时，矩阵的所有42211211 的秩最小.解：. 24. 求下列矩阵的秩(1) ;(2) . 22011112011210211641121213212110解: (1)4; (2)4.25. 设 A*是 F 上的 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，若秩 An1，问 A*的秩是多少？解: 秩 A*=0.6. 设 A 是 F 上的 mn 矩阵，其秩小于 m. 证明，存在 m 阶非零矩阵 G,使得 GA0.证明: 设秩 Ar,则存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q, 使得PAQ= 000rI令 m
3、阶方阵 B=,其中是 m 阶单位矩阵,因为 rm, rmI000rmI所以,而0BBPAQ=B=0 000rI令 G=BP,因为 P 为 m 阶可逆矩阵, 所以.在 GAQ=0 两边右乘以即得0G1QGA=0.7. 已知矩阵 A 的秩为 2，求一个非零矩阵 C 使得 AC0. A 010111101解:因为) 1 () 1() 1(132132ATTT 0002I所以=.) 1 (13TC 1000 I1000001008. 设, 都是数域 F 上的矩阵 A 的属于特征根的特征向量，问是不是 A 的特征向量？为什么？解:若 则不是 A 的特征向量;, 03若 则是 A 的属于特征根的特征向量.
4、这是因为 A(), 0=().9. 求下列矩阵的特征根. (1) ; (2) . 242422221 284014013(1) 1=,;7232(2) 1=,.213210. 设1, 2是数域 F 上的矩阵 A 的不同特征根，1, 2是相应的特征向量，证明12不再是 A 的特征向量. 证明:假设12是 A 的属于特征根的特征向量,则A(12)= (12),另一方面, A(12)= 12于是.因为,所以,都不为零.因此0)()(221121122=1. 这样k)0( k1= A 1= A2=1k1k22k2从而 1=0.因此.矛盾.)(212111. 设 A, B 都是数域 F 上的 n 阶矩阵
5、，且 A 可逆，证明，AB 与 BA 相似.证明:因为 AB,1 ABAA111)()(ABAA所以 AB 与 BA 相似.12. 已知相似矩阵有相同的特征多项式，问这个命题的逆命题成立吗？若不成立，请举一个反例. 解:不成立.例如:尽管有,但 A 与 1011,1001BA2) 1()()(xxfxfBAB 不相似(否则 B=A).13. 设矩阵 A 与 B 相似，其中4A， B. 11322002 a b00020001求 a 与 b 的值. 解: a0,b-2.14. 设 A, B, T 都是复数域上的 n 阶方阵, 且 T 是可逆矩阵. 证明, 若 T 1AT= B, 则对任意的正整数
6、 m, 有 T 1AmT= Bm.证明: B (T 1AT)(T 1AT)= T 1A T22B B B =( T 1A T)( T 1AT)= T 1A T3223.B T 1A T.mm15. 设 A, B 都是 F 上的 n 阶对称矩阵，证明，AB 是对称矩阵当且仅当ABBA. 证明：必要性：设对称，则AB()TTTABABB ABA充分性：设，则ABBA()TTTABB ABAAB16. 方阵 A 称为斜对称的，如果 ATA. 证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数. 证明：设是的任一特征根，则存在复数域上维列向量，使得A设，其中均为复数且不全为零用的转置矩阵A12nc cc 12,n
7、c cc左乘以上式的两边，得由于，所以由转置T()TTTA TAA 矩阵的性质可得()TTTTTAAA 所以，而因此，即是零或纯虚()0T 10nTii ic c 05数17. 设矩阵 A 与 B 合同. 证明，秩 A秩 B. 证明：若与合同，则存在可逆矩阵使得，所以秩秩ABPTBP APB秩()TP APA18. 设可逆实方阵 A 与 B 合同. 证明，detA 与 detB 的符号相同.证明：设实方阵与合同，则存在可逆实方阵使得，因此ABPTBP AP，因为，所以与同正，2detdet()(det) detTBP APPA2(det)0Pdet Adet B同负或同时为零19. 用合同变换
8、化下列矩阵为对角形. (1) ， (2) . 312101211021 212102121 210解：（） ；（） ； （答案不唯一）100010000 100 1004 001 20. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形（1）4x1x22x1x32x2x3; （2）x123x222 x1x22x1x3 6x2x3. 解：（1） 经非退化的线形替换，得标准形：1122331112 013 1122xy xy xy 222 1231242yyy6（2） 经非退化的线形替换，得标准形：1122333112 1012 001xyxyxy （答案不唯一）22 124yy21.设 n 阶实对称矩阵
9、A 是正定的, P 是 n 阶实可逆矩阵.证明, PTAP 也是正定矩阵. 证明：因为正定，所以存在可逆的阶实矩阵，使得，因此AnQT nQ AQI，而是可逆的实矩阵，故正定11() ()()TTT nP QP AP P QQ AQI1P QTP AP22. 设 A 是 n 阶实对称矩阵.证明，A 是正定矩阵当且仅当存在 n 阶实可逆矩阵 P，使 APTP.证明：因为正定的充要条件是与合同，所以存在阶实可逆矩阵，AAnInP使得TT nAP I PP P23. 如果 n 阶实对称矩阵 A 的秩等于 A 的正惯性指数, 那么称 A 是半正定的. 证明，如果 A(aij)是秩为 r 的 n 阶实对
10、称矩阵, 那么(1) A 是半正定矩阵的充分且必要条件是 A 与 n 阶方阵合同; 000Ir(2) A 是半正定矩阵的充分且必要条件是对于变量 x1,x2,xn每取一组不全为零的实数,实二次型 f(x1, x2, xn)=的函数值都是非负数. ninjjiijxxa11证明：（） 半正定的正惯性指数的秩与合AAPAr A0 00rI 同（） 设半正定，则存在可逆的，使得A( )nPMR，其中 秩令，因为可逆，所以对任意一组不0 00rTIP APrAXPYP7全为零的，都有不全为零因此1,nxx11,rrnyyyyL22 11(,)()0TTT nrf xxX AXYP AP YyyL用反证
11、法假设不是半正定的，即则存在可逆的，Apr( )nPMR使得，其中令，则00 00 000P T rpI P API 0prXPY2222 111(,)()0TTT npprf xxX AXYP AP YyyyyLL特别地取，但不全为零，即任取这样由10pyyL1,pryyL1,rnyyL可逆知，对应得一组不全为零的此时，矛盾P1,nxx1(,)0nf xx24. 设 A 是 n 阶实对称矩阵. 证明, 若 A 是半正定的, 则 A 的行列式是非负实数.证明：因为半正定，所以存在可逆的，使得，A( )nPMR0 00rTIP AP其中 秩因此若，则否则rA20(det) detdet00rIP
12、Arndet0A det0A 25. 设 A 是 n 阶正定矩阵, B 是 n 阶半正定矩阵. 证明, A+B 是正定矩阵. 证明：因为是阶正定矩阵，是阶半正定矩阵，所以对任意一个维AnBnn非零向量，都有，因此X0TX AX 0TX BX ()0TXAB X即是正定的AB26设 A 是一个正定矩阵.证明,(1) 对于任意正实数 l, lA 是正定矩阵;(2) 对于任意正整数 k, Ak是正定矩阵;(3) A1是正定矩阵;(4) A 的伴随矩阵 A*也是正定矩阵.8证明：（） 因为正定，所以存在可逆的，使A( )nPMR得因此故正定TAP P() ()TlAlPlPlA（） 若为偶数，则，于是正定；若为奇数，则k22() ()kk kTAAAkAk，即与合同，所以正定11 22() ()kk kTAAA kAAkA（） 因为正定，所以是可逆的实对称矩阵，因此由可得，AA1TAA A A与合同，故正定A1A1A（） ，由于，正定，所以由（）知正1(det)AA Adet0A 1AA定27. 判断下列实二次型是否正定：(1) 8x1x224x1x328x2x3；2 110x2 22x2 3x(2) . niix12 njijixx1解：（） 不正定； （） 正定
