高中数学 导数的概念(1)

第二章 导数与微分第一节 导数的概念一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义五、导函数 六、可导与连续的关系四、导数的物理意义1.变速直线运动的瞬时速度如果物体作直线运动， 在直线上选取坐标系，该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为 s = s(t)， 则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的平均速度为一、瞬时速度 曲线的切线斜率在匀速运动中，这个比值是常量， 但在变速运动中，它不仅与 t0 有关，而且与 t 也有关，很小时，与在 t0 时刻的速度相近似.如果当 t 趋于 0 时， 平均速度 的极限存在，则将这个极限值记作 v (t0)， 叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，简称速度，即当 t2.曲线切线的斜率定义 设点 P0 是曲线 L 上的一个定点， 点 P 是 曲线 L 上的动点，T P0Px0x0+xyOxN当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时， 如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在， 则称直线 P0 T 为曲线 L 在点 P0 处的切线. 设曲线方程为 y = f (x). 在点 P0(x0, y0) 处的附近取 一点 P(x0 + x , y0 + y ) .那么割线 P0 P 的斜率为Lxyy = f (x)如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在， 即点 P0 处的切线存在， 此刻 x  0，  ，割线斜率 tan  趋向切 线 P0 T 的斜率 tan ，即T P0Px0x0+xyOxNLxyy = f (x)切线定义 定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定义. 在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上述邻域内)， 函数 y 相应地有增量y = f (x0 + x ) - f (x0) ，二、导数的定义则称此极限值为函数y = f (x)在点 x0 处的导数.即此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1).解 第一步求 y ： y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12= 2x +(x)2 .第三步求极限：所以， f (1) = 2.第二步求 ：函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0)) 处的切线的斜率,即 tan  = f (x0).yOxy = f (x) x0P三、导数的几何意义法线方程为其中 y0 = f ( x0).y - y0 = f ( x0)(x  x0) .由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为例 2 求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程.解 从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ，所以, 切线方程为y – 1 = 2(x - 1).即y = 2 x - 1.法线方程为即四、导数的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即 s(t0) = v(t0).我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度.例 3 求函数 y = x2 在任意点 x0  ( ,  ) 处的导数.解y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02= 2x0x + (x) 2.五、导函数第二步求 ：求法与例 1 一样.第一步求 y：第三步取极限：即有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数，就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2的导数值, 这样就形成了一个新的函数，f (x) = x2 的导函数，它的表达式就是(x2) = 2x .一般地，函数 f (x) 的导函数记作 f (x)， 它的计算公式是：叫做函数类似例 3，我们可以得 xn (n为整数) 的导函数，当 n 为任意实数  时，上式仍成立，即(xn)= nxn-1 .(x ) = x -1 .例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x  ( ， )).解即(sin x) = cos x. (cos x) =  sin x.类似可得例 5 求 f (x) = ln x (x (0,  ) ) 的导函数.解即类似可得解例 6 求 f (x) = ex (x (-  ,  ) ) 的导函数 .即(ex) = ex.类似可得(ax) = ax lna .例 7 问曲线 y = ln x 上何处的切线平行直线 y = x + 1？解 设点 ( x0 , y0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1，根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知即 x0 = 1，代入 y = lnx 中，得 y0 = 0， 所以曲线在点 (1, 0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1.定义存在，则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作 f (x0)；则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记作 f +(x0) .显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f  +(x0) 存在且相等 .定义 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导， 则称 f (x) 在区间 I 上可导.如果同样，如果 I 是闭区间[a, b] ，则端点处可导是指 f +(a)、 f -(b) 存在 .定理 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真.证其中 y = f (x0 + x) - f (x0)，所以六、可导与连续的关系即函数 f (x) 在点 x0 处连续.但其逆不真，即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续，而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导.例 8 讨论函数 y = | x | 在点 x0 = 0 处的连续性与可导性.解 y = f (0 + x ) - f (0) = | 0 + x | - | 0 |= | x |，即 f ( x ) = | x | 在 x0 = 0 处连续，存在，在 x0 = 0 处左、右导数不相等，所以在 x = 0 处函数 y = | x | 不可导.因为在 x = 1 处的连续性与可导性.解 先求在 x = 1 时的 y .当 x 0 时， y = f (1+ x) - f (1) = 2(1+ x)3 - 2= 6x + 6(x)2 + 2(x)3 ，= 6 + 6x + 2(x)2 .从而知因此所以函数在 x = 1 处连续，但不可导.容易算出又。