高等数学讲义

《高等数学讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学讲义（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第 1 页 共 51 页高等数学讲义高等数学讲义第一章第一章 函数函数一、本章学习要求与内容提要一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求（一）学习要求1.理解函数的概念2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型.（二）（二） 内容提要内容提要1.1.函数的定义函数的定义(1) 函数的定义定义定义 1 1 设和是两个变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,变量按xyDDxy照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称是的函数,记作.数集称为yx)(xfy D该函数的定义域, 称为自变量, 称为因变量.x

2、y当自变量取数值时，因变量按照法则所取定的数值称为函数在点x0xyf)(xfy 处的函数值，记作.当自变量遍取定义域的每个数值时,对应的函数值的全体0x)(0xfxD组成的数集=称为函数的值域.WDxxfyy),(定义定义 2 2 设与是两个非空实数集，如果存在一个对应规则，使得对中任何一DBfD个实数，在中都有惟一确定的实数与对应，则对应规则称为在上的函数，记xByxfD为,BDfyxf: :或称为对应的函数值，记为yx,Dxxfy),(其中，称为自变量，称为因变量.xy由定义 2 知, 函数是一种对应规则，在函数中，表示函数，是对应)(xfy f)(xf于自变量的函数值，但在研究函数时，这

3、种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以x习惯上常把在处的函数值称为函数，并用的形式表示是的函数.但应正xy)(xfy yx确理解，函数的本质是指对应规则.例如就是一个特定的函数，f104(23xxxf）确定的对应规则为f 10)(4)()(23f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值又是由对应规则来)(xfy Dxyf确定的，所以函数实质上是由其定义域和对应规则所确定的，因此通常称函数的定义Df域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如，就是2vzxy与相同的函

4、数. 2 2 函数的三种表示方法函数的三种表示方法(1) 图像法 第 2 页 共 51 页(2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间上的分段函数. 5,( 用参数方程确定的函数用参数方程 （） )()(tytxt表示的变量与之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数xy可以用参数方程表示.) 1,1(12xxy)0(sincos ttty 隐函数如果在方程中，当在某区间 I 内任意取定一个值时，相应地总有满足0),(yxFx该方程的惟一的值存在，则称方程在区间

5、I 内确定了一个隐函数.例如方程y0),(yxF就确定了变量是变量之间的函数关系.01e xyxyx注意注意 能表示成(其中仅为的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把)(xfy )(xfx一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化隐函数的显化.例如可以化成显函数01e xyx.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如.xyxe1 xyxe0ey3 3 函数的四种特性函数的四种特性设函数的定义域为区间，函数的四种特性如下表所示.)(xfy D函数的四种特性表函数的四种特性表 函 数 的 特 性定 义图像特点奇 设函数的定义域关于原点对称，若对任意)(xfy D偶函数的图 形关于轴对称;y ,52,

6、ln,20,0,1 )(2xxxxxx xf第 3 页 共 51 页偶性满足则称是上的偶函数；若对任Dx),()(xfxf)(xfD意满足则称是上的奇函数，既不Dx),()(xfxf)(xfD是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数奇函数的图形关 于原点对称单 调 性若对任意，当时，有,),(,21baxx21xx )(1xf)(2xf则称函数是区间上的单调增加函数；当时，)(xfy ),(ba21xx 有,则称函数是区间上的单调减少)(1xf)(2xf)(xfy ),(ba函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数是区间上的单调函数，则称区间为单调区)(xfy ),(ba),(

7、ba间单调增加的 函数的图像表现 为自左至右是单 调上升的曲线; 单调减少的函数 的图像表现为自 左至右是单调下 降的曲线有 界 性如果存在，使对于任意满足则称函0MDxMxf)(数是有界的)(xfy 图像在直线与My之间My 周 期 性如果存在常数，使对于任意，有TDxDTx则称函数是周期函数，通常所说的周)()(xfTxf)(xfy 期函数的周期是指它的最小周期在每一个周 期内的图像是相 同的4 4 基本初等函数基本初等函数六种基本初等函数见下表 六种基本初等函数表六种基本初等函数表 函数解析表达式 常函数（为常数）Cy C 幂函数（为常数）axy a 指数函数（,为常数）xay 10aa

8、且a 对数函数（,为常数）xaylog10aa且a 三角函数xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin 反三角函数arc,arctan,arccos,arcsinxyxyxyy,cot x arc,arcyxsecyxcsc5.5. 反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数 二、主要解题方法二、主要解题方法 1求函数定义域的方法 例例 1 求下列函数的定义域:(1) =+ ，y216xxsinln第 4 页 共 51 页(2) =.y) 12arcsin( 312 xx小结小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的 定义

9、域时应遵守以下原则： (I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 ，要满足；xx arccos,arcsin1x(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集. (VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例例 2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) ， （2） . 11sin 22 xy)eln(tansin22xxy小结小结 （I）复合函数的复合过程是

10、由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采 取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算. （II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3 建立实际问题的函数模型的方法建立实际问题的函数模型的方法例例 3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为 300 元，当年产量超过 600 台 时，超过部分只能打 8 折出售，这样可出售 200 台，如果再多生产，则本年就销售不出去 了，试写出本年的收益函数模型. 例例 4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取AA 决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函

11、数模型. sxsx 小结小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子 表示出来，然后再进行分析和计算. 建立函数模型的具体步骤可为 ： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示. (2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3) 具体写出解析式，并指明其定义域.)(xfy 三、学法建议三、学法建议 1本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法. 2本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微 积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高.3从实

12、际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步， 因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练， 以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.第 5 页 共 51 页第二章第二章 极限与函数极限与函数一、本章学习要求与内容提要一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求（一）学习要求 1了解极限的描述性定义 2了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质 3会用两个重要极限公式求极限 4掌握极限的四则运算法则 5理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类 6了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的 存在定理、介值定理）

13、 7会用函数的连续性求极限 （二）内容提要（二）内容提要 极限的定义极限的定义 (1) 函数极限、数列极限的描述性定义 极限定义表极限定义表类型描述性定义极限记号极限的时函数)(xfx设函数在 为某个正实数)时)(xfy bx b(有定义，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应x 的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为AA（读作“趋于无穷” ）时函数的极限xx)(xf或Axf x )(lim)()(xAxf极限的时函数)(xfx设函数为某个实数)内有定义，aaxfy( ),()(在如果当自变量无限增大时，相应的函数值无限x)(xf接近于某一个固定的常数，则称为（读AAx作“趋于正无穷” ）时

14、函数的极限x)(xf或Axf x )(lim)()(xAxf极限的时函数)(xfx设函数(为某个实数)内有定),()(axfy在a义，如果当自变量无限增大且时，相应的函x0x数值无限接近于某一个固定的常数，则称)(xfA为（读作“趋于负无穷” ）时函数Axx的极限)(xf或Axf x )(lim)()(xAxf第 6 页 共 51 页极限的时函数)(0xfxx 设函数在点的去心邻域内有)(xfy 0x),(0xN定义，如果当自变量在内无限接近于时，x),(0xN0x相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，)(xfA则称为当（读作“趋近于” ）时函数A0xx x0x的极限)(xf或Axf xx

15、)(lim0)()(0xxAxf极限的时函数)(0xfxx设函数在点的左半邻域)(xfy 0x内有定义，如果当自变量在此半邻域内),(00xxx从左侧无限接近于时，相应的函数值无限0x0x)(xf接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时AAx0x函数的左极限)(xf或Axf xx )(lim0AxfxxAxf)0()()(00 或极限的时函数)(0xfxx设函数的右半邻域内有定义，)(xfy )(0, 0xx如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于x0x时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数0x)(xf，则称为当趋近于时函数的右极限AAx0x)(xf或Axf xx )(lim0AxfxxAxf)0()()(00 或对于数列，若当自然数无限增大时，通项 nun无限接近于某个确定的常数,则称为当趋于无nuAn穷时数列的极限，或称数列收敛于 nu nuA或Aun n lim)(nAun数列的极 nu限若数列的极限不存在，则称数列发散 nx nx不存在nnu lim（2）单侧极限与极限的关系定理的充分必要条件是Axf