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1、推广第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 NOTE: 善于类比, 区别异同多元函数微分学 第八章 第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念 一、 区域 1. 邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P
2、: 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集
3、成为 E 的导集 .E 的边界点 )D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;例如，在平面上开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 是开集，是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .(WHY?)机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 对区域 D , 若存在正
4、数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 .否则称为无3. n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .的距离记作中点 a 的 邻域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 与零元 O 的距离为二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称为函数的值
5、域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 二元函数定义域为圆域说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数 点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚 若存在常数 A ,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回
6、 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切例1. 设求证 ：证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 例2. 设求证：证 ：故总有要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例3. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求解: 因而此函数定义域 不包括 x , y 轴则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其它二者
7、存在. 二重极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数上间断.故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若 f (P) 在有界闭域
8、 D 上连续, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 解: 原式例5.求例6. 求函数的连续域.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性 1) 函数2) 闭域上的多元连续函数
9、的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题1. 设求解法1 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 . 设求解法2 令即机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.是否存在？解：所以极限不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 证明在全平面连续.证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日 (17361813) 只有18岁的他就以纯分析的方法 发展了欧拉所开创的变分法，奠 定变分法之理论基础。后入都灵 大学。 1755年，19岁的他就已当 上都灵
10、皇家炮兵学校的数学教授 。不久便成为柏林科学院通讯院 院士。两年后，他参与创立都灵科学协会之工作，并于协会 出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微 分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使 他成为当时欧洲公认的第一流数学家。拉格朗日 Lagrange, Joseph Louis 法国数学家、力学家及 天文学家。 到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问 题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功 地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出 的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动 问题而再度获奖。1766年他应邀到柏林科学院工作，并在那里 居住达20年。其间他写了继牛顿后
11、又一重要经 典力学著作分析力学 1788 。书内以变 分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系 建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称 ：力学已成分析的一个分支。拉格朗日 (17361813) 拉格朗日不但于方程论方面 贡献重大，且还推动了代数学之 发展。他在生前提交给柏林科学 院的两篇著名论文： 关于解数值方程1767 及关于方程的代数解法的研究 1771 中，考察了二、三 及四次方程的一种普遍性解法， 即把方程化作低一次之方程 辅助方程或预解式 以求解。 但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含 了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立 群论之先导。另外，他在数论方面亦
12、是表现超卓。费马所 提出的许多问题都被他一一解答，如：一正整 数是不多于四个平方数之和的问题；求方程x2- Ay2=1 A为一非平方数 之全部整数解的问 题等。他还证明了之无理性。这些研究成果 都丰富了数论之内容。拉格朗日 (17361813) 此外，他还写了两部分析巨 著解析函数论1797及 函数计算讲义1801， 总结了那一时期自己一系列之研 究工作。他于解析函数论及收入此 书的一篇论文 1772中企图把 微分运算归结为代数运算，从而拼弃自牛顿以来一直令人困 惑之无穷小量，为微积分奠定理论基础方面作出独 特之尝试。他又把函数f(x)的导数定义成f(x + h)之泰勒展开 式中的h项之系数，并由此为出发点建立全部分 析学。可是他并未考虑到无穷级数的收敛性问题 ，他自以为摆脱了极限概念，实际上回避了极限 概念，因此并未达到使微积分代数化、严密化之 想法。不过，他采用新的微分符号，以幂级数表 示函数之处理手法使分析学之发展产生了影响， 成为实变函数论之起点。而且，他还在微分方程理论中作出奇解为 积分曲线族的包络之几何解释，提出线性代 换之特征值概念等。数学界近百多年来的许 多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗日的 工作。为此他于数学史上被认为是对分析数 学的发展产生全面影响的数学家之一。
