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1、等比数列等比数列例例 1 在等比数列an中（1）a4=2,a7=8,则 an= （2）a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,则 n= （3）a5-a1=15,a4-a2=6,则 a3= （4）a1=3,an=48,a2n-3=192,则 q= ,n= 分析分析 （1）由等比数列通项公式 an=a1qn-1，若已知 a1、q、n、an中两个可求另外两个（2）在等比数列的有关计算中运用 a3+a6与 a2+a5的关系：a3+a6=q（a2+a5）解：解：（1）由 a7=a4q3,得 8=2q3，得q3=4,q= 则 an=a4qn-4=2（ ）n-4=22 =2 （2）由 a3+a6=q（a
2、2+a5）,得 9=18qq= 又由 a2+a5=a1q+a1q4=18,得 a1=32再由 an=a1qn-1，得 1=32（ ）n-1，得 n=6（3）a5-a1=a1q4-a1=15，即a1（q4-1）=15；a4-a2=a1q3-a1q=6,即 a1（q2-1）q=6式式得 = = 2q2+2=5q,2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 q= 代入式得 或 当 时，a3=a1q2=4；当 时，a3=a1q2=-4（4）an=a1qn-1=48,a2n-3=a1q2n-3-1=192,式式得 qn-3=4由式式得 q2=4,q=2代入式得 3（2）n-1=48,n=5例例 2 设数列a
3、n的前 n 项和为 Sn且 an0（nN+）,S1,S2,Sn,成等比数列，试问数列 a2,a3,a4,an成等比数列吗?证明你的结论分析分析 判断 a2,a3,an,是否成等比数列，即是判断 （n2）是否是常数由题设条件可得到 Sn的表达式问题转化为已知 Sn求 an的问题解：解：设 a1=a,则 S1=a1=a因为Sn成等比数列，设公比为 q，则 Sn=S1qn-1=aqn-1当n2 时，an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=aqn-2（q-1）,an+1=Sn+1-Sn-aqn-aqn-1=aqn-1（q-1）当 q=1 时，Sn为常数列，此时 an=0 与题设条件 an0 矛盾
4、所以 q1所以 = =q（n2,nN+）故数列 a2，a3，an，成等比数列评析评析 在涉及前 n 项和 Sn与 an的题目中，首先要弄清 Sn与 an的关系，再解决其它问题例例 3 已知等差数列an的首项和等比数列bn的首项相等，公差和公比都是 d,又知 d1，且 a4=b4,a10=b10（1）求 a1与 d 的值；（2）b16是不是an中的项?分析分析 运用通项公式列方程解：解：（1）由 d9-3d3+2=0 d1=1（舍）d2= = a1=3d= ,d= （2）b16=b1d15=32a1，如果 d16是an中的第 k 项，则-32a1=a1+（k-1）d（k-1）d=-33a1=33
5、d，k=34即 b16是an中的第 34 项评析评析 等差数列与等比数列的内容结合起来，就要求有分辨能力，既要综合，就要对各部分的概念都有清晰的认识，不能混淆另外，在等比数列中，a1，q，n，an，Sn中，知其中的三个可求另外两个，既解方程组方法例例 4 已知数列an的前 n 项的和 Sn，满足关系 lg（Sn+1）=n（n=1,2,）试证数列an是等比数列证明：证明：由已知可得 Sn=10n-1,当 n2,an=Sn-Sn-1=（10n-1）-（10n-1-1）=910n-1,又 n=1 时，a1=S1=9 也满足上述通项公项数列an的通项公式 an=910n-1而当 n2 时 = =10
6、为一常数数列an是等比数列例例 5 设数列an的前 n 项和为 Sn，且 an0，Sn+1+Sn=kan+1（k1），问数列an是否为等比数列，并说明理由分析分析 根据题设，按等比数列的定义进行推理解：解：Sn+1+Sn=kan+1，又 Sn+1-Sn=an+1，2Sn+1=（k+1）an+1，2Sn=（k+1）an,（n2）以上两式相减，可得2an+1=（k+1）an+1-（k+1）an,（n2）（k-1）an+1=（k+1）an,（n2） = ,（n2）又S1+S2=ka2,2a1+a2=ka2, = ，若an为等比数列，则 = ,得 k=1,这与k1 矛盾数列an不是等比数列评析评析 在
7、推证过程中，正是注重了 n2 以及k1，才完成了论证例例 6 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 8，第二个数与第三个数的和是 4，求这四个数分析分析 充分考虑题设中量与量的关系，从而确定运用哪些条件设元，运用哪些条件列方程解：解：设第二个数为 a，则第三个数为 4-a,第一个数为 3a-4，第四个数为 12-3a于是，a（12-3a）=（4-a）2,整理得 a2-5a+4=0解之，a=4（舍去）或 a=1,所以，这四个数依次为-1,1,3,9评析评析 “恰当地设，正确地列”是解答这类问题的关键原则上，设元要使未知量的个数尽可能的少，列方程要顾及
8、所列方程既要简单又要便于求解另外，舍去 a=4，为什么?例例 7 设 Sn是等差数列an的前 n 项和，已知 S2与 S3的等比中项为 S4， S2与 S3的等差中项为 1，求等差数列an的通项 an分析分析 确定一个数列一般需要两个独立的条件已知条件中恰好给出了两个已知关系，则本题可以通过列方程组的办法来解这是解决数列问题的基本方法解：解：设等差数列an的公差为 d，依题意得S2 S3=（ S4）2,S2+ S3=2, （a1+ ）（a1+d）=（a1+ d）2,a1+ +a1+d=2 6a1d+7d2=0,4a1+3d=4,d=0, d=- , 或a1=1 a1= an=1 或 an= - n评析评析 准确、熟练地进行基本运算是高考对考生运算能力的基本要求
