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1、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)exxdx2ln= _.(2)已知2e610yxyx ,则(0)y=_.(3)02 yyy满足初始条件1(0)1,(0)2yy的特解是_.(4)已知实二次型3231212 32 22 1321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型2 16yf ,则a=_.(5)设随机变量),(2NX,且二次方程042Xyy无实根的概率为 0.5,则=_.二、选择题二、选择题(本题
2、共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要只有一个符合题目要 求求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数),(yxf的四条性质:),(yxf在点),(00yx处连续, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续,),(yxf在点),(00yx处可微, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在.则有:(A) (B) (C) (D)(2)设0nu,且1lim nnun,则级数)11() 1(11 nnn uu为(A)发散 (B)绝对收敛 (C)
3、条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(xf在R上有界且可导,则(A)当0)(lim xf x时,必有0)(lim xf x(B)当)(limxf x 存在时,必有0)(lim xf x(C) 当0)(lim 0 xf x时,必有0)(lim 0 xf x(D) 当)(lim 0xf x 存在时,必有0)(lim 0 xf x.(4)设有三张不同平面,其方程为iiiidzcybxa(3,2, 1i)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张 平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(xfX和)(yfY,分布函数分别为)
4、(xFX和)(yFY,则(A)(xfX)(yfY必为密度函数 (B) )(xfX)(yfY必为密度函数(C)(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数 (D) )(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数.三、三、(本题满分本题满分 6 分分) 设函数)(xf在0x 的某邻域具有一阶连续导 数,且0)0()0(ff,当0h时,若 )()0()2()(hofhbfhaf,试求ba,的值.四、四、(本题满分本题满分 7 分分)已知两曲线)(xfy 与2arctan0extydt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(limnnf n.五、五、(本题满分本题满分 7 分分)计算
5、二重积分22max,exyDdxdy,其中10, 10|),(yxyxD.六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数)(xf在R上具有一阶连续导数,L是上 半平面(y0)内的有向分段光滑曲线,起点为(ba,), 终点为(dc,). 记dyxyfyyxdxxyfyyI1)()(1 12 22,(1)证明曲线积分I与路径L无关. (2)当cdab 时,求I的值.七、七、(本题满分本题满分 7 分分)(1)验证函数03)!3()(nnnxxy(x)满足微分方程exyyy.(2)求幂级数03)!3()(nnnxxy的和函数.八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为
6、xoy面, 其底部所占的区域为75| ),(22xyyxyxD,小山的高度函数为),(yxhxyyx2275.(1)设),(00yxM为区域D上一点,问),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00yxg,写出),(00yxg的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在 山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是 说要在D的边界线上找出使(1)中),(yxg达到最大 值的点.试确定攀登起点的位置.九、九、(本题满分本题满分 6 分分)已知四阶方阵1234(,)A , 1234, 均为四维列向量,其中234, 线性无关,1232.若1234,求线性方
7、程组x A的通解.十、十、(本题满分本题满分 8 分分) 设,A B为同阶方阵, (1)若,A B相似,证明,A B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不 成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成 立.十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分) 设维随机变量X的概率密度为( )f x 1cos022 0xxx其其对X独立地重复观察 4 次,用Y表示观察值大于 3的次数,求2Y的数学期望.十二、十二、(本题满分本题满分 7 分分) 设总体X的概率分布为X0123P2)1 (2221其中(102)是未知参数,利用总体X的如下样本值 3,1,3,0,3,1
8、,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) (1)1ln(102)(coslimxxx= .(2)曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是 .(3)设)(cos02xnxaxnn,则2a= .(4)从2R的基1211,01 到基1211,12 的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(, )X Y的概率密度为( , )f x y 60x01xy 其其,则1YXP .(6)已知一批零件的长度X(
9、单位:cm)服从正态 分布)1 ,(N,从中随机地抽取 16 个零件,得到长度 的平均值为 40 (cm),则的置信度为 0.95 的置信区 间是 . (注:标准正态分布函数值 .)95.0)645.1(,975.0)96.1(二、选择题二、选择题(本题共本题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 24 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要只有一个符合题目要 求求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数( )f x在),(内连续,其导函数的图形如图所示,则( )f x有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (B
10、)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设,nnncba均为非负数列,且0lim nna,1lim nnb, nnclim,则必有(A)nnba 对任意n成立 (B)nncb 对任意n成立(C)极限nnnca lim不存在 (D)极限nnncb lim不存在(3)已知函数( , )f x y在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx,则(A)点(0,0)不是( , )f x y的极值点 (B)点(0,0)是( , )f x y的极大值点 (C)点(0,0)是( , )f x y的极小值点 (D
11、)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为( , )f x y的极值点(4)设向量组 I:12,r L可由向量组 II:12,s L线性表示,则(A)当sr 时,向量组 II 必线性相关 (B)当sr 时,向量组 II 必线性相关 (C)当sr 时,向量组 I 必线性相关 (D)当sr 时,向量组 I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x A和0x B,其中,A B均为nm矩阵,现有 4 个命题: 若0x A的解均是0x B的解,则秩() A秩( )B 若秩() A秩( )B,则0x A的解均是0x B的解 若0x A与0x B同解,则秩() A秩( )B 若秩() A秩( )B, 则0x
12、A与0x B同 解 以上命题中正确的是(A) (B) (C) (D)(6)设随机变量21),1)(XYnntX,则(A)2( )Yn(B)2(1)Yn(C)( ,1)YF n(D)(1, )YFn 三、三、(本题满分本题满分 10 分分) 过坐标原点作曲线lnyx的切线,该切线与曲 线lnyx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A. (2)求D绕直线ex 旋转一周所得旋转体的体 积V. 四、四、(本题满分本题满分 12 分分)将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数,并求级数012) 1(nnn的和.五五 、(本题满分本题满分 10 分分) 已知平面区域0 ,0),(yxyx
13、D,L为D的正向边界.试证: (1)sinsinsinsineeeeyxyxLLxdyydxxdyydx.(2)sinsin2ee2.yxLxdyydx 六六 、(本题满分本题满分 10 分分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设 土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正 比(比例系数为.0k k ).汽锤第一次击打将桩打进地 下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的 功与前一次击打时所作的功之比为常数 (01)rr.问(1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下 多深? (注
14、注:m 表示长度单位米.) 七七 、(本题满分本题满分 12 分分) 设函数( )yy x在),(内具有二阶导数, 且)(,0yxxy是( )yy x的反函数. (1)试将( )xx y所满足的微分方程0)(sin(3 22 dydxxydyxd变换为( )yy x满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(, 0)0(yy的解.八八 、(本题满分本题满分 12 分分) 设函数( )f x连续且恒大于零,)(22)(222)()()(tDt dyxfdvzyxftF,ttDdxxfdyxftG12)(22)()()(,其中),()(2222tzyxzyxt,.),()(222tyxyxtD(1)讨论( )F t在区间), 0(内的单调性.(2)证明当0t 时,).(2)(tGtF九九 、(本题满分本题满分 10 分分)设矩阵322232223 A,010101001 P,1*BP A P,求
