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1、浅析 Vandermonde 行列式的性质与应用摘 要： 在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde 行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对 vandermonde 行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了 Vandermonde 行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde 行列式计算某些特殊的行列式与其在多项
2、式、向量空间等中的简单应用.关键词： 行列式 Vandermonde Vandermonde 行列式宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract: Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of ve
3、ctor spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding
4、and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and int
5、roduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vector space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 目录1 引言.12 VANDERMON
6、DE 行列式的定义与证法 .22.1 VANDERMONDE行列式的定义 .22.2 VANDERMONDE行列式的证法 .23 VANDERMONDE 行列式的性质 .43.1 VANDERMONDE行列式的翻转与变形 .43.2 VANDERMONDE行列式为 0 的充分必要条件 .53.3 VANDERMONDE行列式推广的性质定理 .54 VANDERMONDE 行列式的应用 .74.1 VANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 .74.1.1 计算准 Vandermonde 行列式 .74.1.2 计算特殊的行列式 .74.2 VANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中
7、的应用 .104.2.1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用.104.2.2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用.135 小结.15参考文献.16谢辞.17宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文11 1 引言引言行列式最早出现在 17 世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander-monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得 19 世纪中
8、期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而 vandermonde 行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer 法则的补充、Lagrange 插值公式的推导、向量空间基的证明、与 Taylor 公式结合求微积分问题等起了重要的作用1，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对 n 阶 vandermonde 行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决
9、定就 Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对 vandermonde 行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde 行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 2 VandermondeVandermonde 行列式的定义与证法行列式的定义与证法宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文22.1 Vandermonde 行列式的定义我们把型如 nV 12111 1211.1.nnnn naaaaaa的行列式叫做 Vandermonde 行列式
10、，其值为，即1()ij j i naa = nV 12111 1211.1.nnnn naaaaaa1()ij j i naa 其中表示这个数的所有可能的差（）的乘1()ij j i naa 12,.na aanijaa1jin 积（）2. 2n 2.2 Vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）3 证明 从第行开始，每一行加上前一行的倍，根据行列式的性质可知行列n1a式的值不变，此时有 =nV)()(.)(0)()(.)(0.011.1112 112 1122 213 113 1123 211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann nnn nnnn nn
11、n nnnn 再按行列式首项展开得：=1nV)()(.)()()(.)(.12 112 1122 213 113 1123 211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann nnn nnnn nnn nnnn 各列提公因式得：宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文3 nV21111().()()nnaaaaaa2313333 231 2222 23111.11. .nnnnnn nn nnnn nnaaaaaaaaaaaa 注意到行列式是阶 Vandermonde 行列式，即已经2313333 231 2222 23111.11.nnnnnn nn nnnn nnaaaa
12、aaaaaaaa 1n 1nV将用表示出来,降了一阶，并且少了一元.重复用上述方法对再进行求解，nV1nV1a1nV经过有限步则可以得到：=（）()()1nV(21aa)111()()nnaaaa32122().()nnaaaaaa1nnaa= 即证.1()ij j i naa 方法二：数学归纳法4 证明 （1）当时, 成立.2n 221 121 1Vaaaa（2）假设对于阶成立，则对于阶，首先构造一个辅助的 n 阶行列式：1n n11 -n 11 21 122 12 22 1121)(1 1 1 1 n nnnnnxxaaaxaaaxaaaVLMMLMMLLL显然，将按第 n 列展开，得：naVV n)()(xV1)(xVnA1xnA22x1 3n nxALnnA其中是行列式中元素的代数余子式，且不含), 2 , 1(niAinL)(xV), 2 , 1(1nixai inL，因此可知是一个 n-1 次的多项式，它的最高次的系数是，按定义知x)(xV1nxnnA宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文4.另一方面，根据行列式的性质知是的 n-1 个根，11) 1(nnnn nnVVA121,naaaL)(xV根据多项式的理论，得：)()
