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1、1高教社杯全国大学生数学建模高教社杯全国大学生数学建模竞赛竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
2、我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3高等教育学费标准探讨 【摘要】本文根据中国现阶段国情，通过考虑家庭承受能力，学校收支
3、平衡等因素后对 高等教育的学费标准制定问题建立了两个非线性规划模型，对高校整体的学费标准 制定问题和不同专业不同学校的学费标准问题进行了分析。 模型一对高校整体的学费标准制定问题作了分析。其中不仅考虑了学生的经济 条件以及教学质量对学生选择高校专业的影响，而且考虑了学生就读高校不同专业 对其发展前景的影响。我们假定了教学质量和高校学费及受教育人数之间的关系， 据此设计了教学质量的评价函数，而后引入了Harrington提出的满意度函数，两者 结合作为评价学费标准的目标函数。我们从网络及统计年鉴中广泛收集了相关数据， 然后利用数据模拟获得最优解，并对将来五年内的发生情况做出了预测。本模型的 结论
4、与当前高等教育中存在的诸多问题相一致，可以很好解释。 模型二中我们对不同专业和学校类别进行了考虑，将学费类型一共分为一本文 科专业，二本文科专业，三本文科专业，一本理科专业，二本理科专业，三本理科 专业，艺术专业以及体育专业等八类，通过对大量数据的收集和处理统计出目前这 八个类别的平均学费值及相应的学生百分比。在模型二中，目标函数为学费的期望 值。约束条件主要考虑了家庭承受能力，根据国家标准及实际国情所求出的学生的 学费应占生均培养费用的百分比，学校收支平衡情况，八类学费的合理取值范围等 因素。在模型中灵活设定了多个参数，使约束条件能够随着实际情况的变化及时做 出调整。我们采用Lingo程序对
5、本模型进行求解，得到了最佳期望值及八种学费的 具体数值。在对模型的讨论中，我们对不同学校类别和不同专业用双因素方差分析 法评价这两个因素对学费的影响，并且进一步讨论了同样专业不同类型的学校学费 差异体现在哪里。 最后本文还对模型进一步优化讨论。对模型一，考虑个人投入所占比重不断增 加，高校长期利益及高等教育的逐渐市场化；对模型二，将学生承担的高等教育成 本内容加以完善，分析家庭收入情况对学生择校择专业的影响，并引入了成本 收益率和个人满意度。 关键字：非线性规划 满意度函数 数学期望 双因素方差分析1 问题重述4高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因 此受到党和政
6、府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个 核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费 保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、 社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般 可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、 企业等给予的奖学金。 学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的 学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费 问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。 请你们根据中国国情，收集诸如国家生
7、均拨款、培养费用、家庭收入等相关数 据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得 出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部 分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。 最后，根据你们建模分析的结果，给有部门写一份报告，提出具体建议。2 问题分析 本题主要是在不同的学生经济条件和学校教育成本下，对高校学生的学费进行 合理制定的问题。高等教育的目的是满足国家和社会对优质高等教育资源的需求， 为国家经济建设和发展综合国力提供保障。在学生规模越来越大而社会需求更加强 烈的背景下，为尽量使学生有能力承担就读费用，以满足社会各行业的人才需求
8、和 国家发展的要求，在考虑学生的生活地区、家庭人均收入、学生成绩、生活费等因考虑学生的生活地区、家庭人均收入、学生成绩、生活费等因 素之后，按照学校的收支比例，确定最佳的学费标准素之后，按照学校的收支比例，确定最佳的学费标准。为了使问题简化，以培养专 科以上学历的高校为对象，先建立一个通用的高等学校学费标准模型（模型一） ， 然后不同层次或专业的高校，可以根据其实际情况进行具体化（模型二） 。 学生的学费与政府的财政拨款组成了大部分的高等教育资金，而高校的教育成 本又包括培养费用、基建科研及其他费用。仅考虑学生家庭人均收入随城乡产生差 异的情况，首先，根据全国统计的城镇与农村的居民收入差异，将
9、家庭人均收入表 示成年份的函数。其次，根据不同专业的学生毕业后的预期收入判断学生对学校的 满意度，在给定一定比例、一定数额的奖学金与助学金后，以满足学校综合收入与 教育成本相平衡（如有可能，尽量使其有所盈余）为前提，给出全国高校学费标准 的几种方案。 事实上，不同类别的学校以及不同类型的专业，直接导致了学费金额的不同。 将学费类型一共分为一本文科专业，二本文科专业，三本文科专业，一本理科专业，学费类型一共分为一本文科专业，二本文科专业，三本文科专业，一本理科专业， 二本理科专业，三本理科专业，艺术专业以及体育专业等八类，二本理科专业，三本理科专业，艺术专业以及体育专业等八类，通过对大量数据的
10、收集和处理统计出目前这八个类别的平均学费值及相应的学生百分比。我们取目标 函数为学费的期望值，从家庭承受能力，学生的学费应占生均培养费用的百分比， 学校收支平衡情况，八类学费的合理取值范围等因素进行考虑。此外，我们将学生 按家庭收入情况分类为贫困生及非贫困生两类以便说明问题。3 模型假设5一.假设不出现突发事件，社会发展稳定； 二.假设收集到的数据真实可靠； 三.假设每个学生除了给定的差别以外，其他各类差别是独立随机的；四.假设学校管理妥当，不考虑行败和其他不公平因素； 五.假设学生在选择学校与专业时不考虑家庭条件； 六.假设学校从学生处收取的费用只有学费，不考虑其他杂费等。4 符号系统 平均
11、每人每学年接受高等教育的学费; 平均一个学生对高等教育的满意度; 学生家庭人均收入在全国的平均值; 平均学生毕业后第一年的预期收入; 高校招生的总人数; 人均获得的奖学金数额； 人均获得的助学金数额； 高等教育的总培养费用; 政府的财政拨款; 社会捐赠的款项; 学校自筹的款项; 生均基建费; 年份; 平均城镇收入水平; 平均农村收入水平; 城镇人口比例; 注： 1. 以上各项费用均为年度费用； 2. 其他局部符号在引用时将给出具体说明；5 建立模型 模型一5.1.0 模型分析本模型主要是在全国范围内建立一个学费标准，以满足学生生活水平变化与高 校教育成本变化。 对国家和社会来说，对优质高等教育
12、资源的满足程度，决定了 高等教育的成功与否。当然在正常情况下，学生进入到社会最需要的领域，同时就 实现了自己的价值，因此也会对高等教育表示满意。这就是说，我们可以把学生对 自己接受的教育的满意程度作为目标函数，在一定程度上可以用它刻画国家举办高 等教育的目的（这在某些细节上会有出入，但据上述分析，仍有一定的可行性） ，6建立相应的数学模型，找到合理的解决方案。目标分析目标一：学生承受意愿最大 我们首先建立一个评价学生对学费满意程度的指标首先建立一个评价学生对学费满意程度的指标。联系实际，学费 T 过高会 使很多学生无力支付，相对而言家庭收入水平 F 较低的学生对此问题更加敏感，同 时还要考虑到
13、学生就读于该类学校该种专业，毕业后进入社会的就业前景，为社会 创造的价值，这也影响到高素质人才的培养、各个行业领域的发展。以平均学生毕 业后第一年的预期收入 I 来反映高等教育的培养质量，I 或者 F 越高，质量越高， 学生对学费的承受意愿也就越大。由于就读阶段，家庭收入水平 F 直接影响学生对 专业和学校的选择，所以在跟预期收入 I 对比时，参照各种社会调查的数据，设定 F 的权值为 0.9，预期收入 I 的权值为 0.1。调查显示，学费收入占到高校经费来源 的 30%左右，这意味着学费的制定必须有一个底线，设为 L，平均各类高校的学费 必须高于 L，这是大学生能够理解的部分。目前为止满意度
14、函数的形式已是多种多 样。这是一个具有望小特征的问题，根据满意度函数理论上的合理性、工程中的实 用性，我们经过反复研究、对比选取 Harrington 满意度函数从函数式中可以看到，学生现在和将来的综合经济条件越大，满意 度越大；在给定的一个学费底线 L 下，学费 T 变大，满意度会变小，比 如学费过快上涨，就会降低学生对学费的承受意愿。c 为常数，用以调整指数函数 的横向尺度和形状。上述分析及函数有效性得以验证。 目标二：教育质量最高 教学质量的差异也会影响学生对学费标准的满意程度。较高的学费标准通常会 对应着较好的教学质量（不考虑民办院校） 。此外，高校当中存在这样一种情况： 详细比较后发
15、现，相似水平下学费较高的学校或者是同等学费标准下，未进行扩招 的学校，其教育质量更好。教学质量对学生的影响力我们选取线性函数上式当中，a、b 都是常数，T 增大或 M 减小都能使增大。最后把 Harrington 函数与教学质量函数相结合，建立目标函数 S，使总的满意度 函数 S 与家庭收入水平 F 和预期收入 I 正相关，与高校招生总规模负相关。约束分析另一方面，过低的学费会使学校资金不足而难以维持正常运作。为此，我们研 究了高校的财务状况，找到了几个收入支出的约束条件。 1) 培养费用约束 第一，每年发放的人均奖学金 Q、人均助学金 A（贷款由教育部另外划拨，不 影响学校的资金链）属于培养费用 G 的一部分，经统计，不能超过平均每年培养 费用 G/4 的 10%。尽管高校的经费使用情况主要是学生培养费用 多年来一直受到 质疑，但是根据各类教育网站的年鉴数据，仍然可以估计出一个大致的值。此约束 可表示为7【1】 M 为当年高校招生的总人数，由于 G 是四年统计数字的总和，所以要除以 4 再乘上奖助学金的比例 0.1，这个数应大于或等于高校预算的奖助学金
