高考总复习-专题二十一椭圆与双曲线知识网络

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1、专题二十一专题二十一 椭圆与双曲线椭圆与双曲线一、知识网络一、知识网络 二、高考考点二、高考考点1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。三、知识要点三、知识要点(一一)椭圆椭圆 定义与推论1、定义 1 的的认知设 M 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公

2、式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义 2 的推论根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点， 分别为椭圆左、右焦点，则有：（d1为点 M 到左准线 l1的距离）（d2为点 M 到右准线 l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式： 标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆标准方程 中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆标准方程 （1）标准方程、中的 a、b、c 具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、统一形式： 2、椭圆 的几何性质（1）范围： （有界曲线）（2）对称性：关于 x 轴、y 轴及原点对称（两轴一中心，椭

3、圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点 ，长轴 2a，短轴 2b（由此赋予 a、b 名称与几何意义） （4）离心率： 刻画椭圆的扁平程度（5）准线：左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ；中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 . 挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程 且 （2）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式：设斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于不同两点 ，则 ；或 。（二）双曲线（二）双曲线、定义与推论1定义 1 的认知设 M 为双曲线上任意一点， 分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端点，则有：（1）明

4、朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）2定义 2 的推论设 为双曲线 上任意上点， 分别为双曲线左、右焦点，则有，其中， 为焦点 到相应准线 li的距离 推论：焦点半径公式当点 M 在双曲线右支上时， ；当点 M 在双曲线左支上时， 。、标准方程与几何性质3双曲线的标准方程中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线标准方程为 中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线标准方程为 （1）标准方程、中的 a、b、c 具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、的统一形式： 或： （3）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4双曲

5、线 的几何性质（1）范围： （2）对称性：关于 x 轴、y 轴及原点对称（两轴一中心）（3）顶点与轴长：顶点 （由此赋予 a,b 名称与几何意义）（4）离心率： （5）准线：左焦点 对应的左准线 ；右焦点 对应的右准线双曲线共性：准线垂直于实轴； 两准线间距离为 ；中心到准线的距离为 ； 焦点到相应准线的距离为 （6）渐近线：双曲线 的渐近线方程：、挖掘与延伸1具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线 （）（1）当 + 为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=+;（2）当 为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程：；（3）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为：特别：与双曲线

6、共渐近线的双曲线的方程为：（左边相同，区别仅在于右边的常数）2弦长公式设斜率为 k 的直线 l 与双曲线交于不同两点 则 经典例题经典例题1、（1）若椭圆 的一个焦点是（-2，0），则 a 等于 。（2）已知椭圆 的焦点为 F1、F2，点 P 是其上的动点，当 为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围为 。分析：（1）从此椭圆的标准方程切入。由题设知已知得： 这里 由此解得 （2）这里 a=3, b=2, c= 以线段 F1F2为直径的圆的方程为 设 ，则由点 P 在椭圆上得： 又由 为钝角得： 由、联立，解得： 所求点 P 横坐标的取值范围为 点评：注意到点 P 对 的大小的影响可用点 P 与圆

7、 相对位置关系来反映，故选择这一解法。当然，本题亦可由 推出 的范围，请同学们尝试和比较。2、已知 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于 P、Q 两点， 且，求椭圆的离心率。分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，注意到这一三角形含有点 P、Q 处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。解：设椭圆方程为 设 ，则由 为等腰 得： 又由椭圆第一定义得 的周长为 4a 即 注意到 为 ， 即 因此，代入得 由此解得 点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出，第二项用于导出；两次运用 条件：第一次利用 为等腰 表示出 ，第二次利用 为 导出。充分利用题设条件

8、，也是解题成功的保障之一。3、已知双曲线 的左、右两个焦点为 ，P 为双曲线上的点，又， 成等比数列且 ，求双曲线方程。分析：这里要求 b 的值。注意到 ，为了求 b，首先需要从题设条件入手寻找关于 b的方程或不等式。由题设得 ，为便于将其设为关于 b 的方程，考虑推导并利用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点 P 位置拉开序幕。解：这里 （4 的特殊性） ，即 ， 点 P 在双曲线右支上设点 ，则由双曲线第二定义以及点 P 在双曲线右支上得 又由题设得 代入得 再注意到由 得 ， 即 于是、得 而 ，所以由得 b=1因此，所求双曲线方程为： 点评：这里对已知条件 的两次运用：第一次“粗

9、”用，利用 4=2a 的特殊性判定点P 在双曲线右支上；第二次“细”用，利用 （将 4 作为一般正数）导出点 P 横坐标存在的范围： 。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。4、设椭圆 的焦点为 ，P 为椭圆上一点， 的最大值为 。（1）求椭圆的离心率；（2）设直线 l 与椭圆交于 M、N 两点，且直线 l 与圆心在原点，半径等于 b 的圆相切，已知线段 MN 长度的最大值为 4，求椭圆方程和直线 l 的方程。分析： 中 的最大值为 的最小值为 ，循着特殊与一般相互依存的辩证关系，想到从在 中运用余弦定理推导 的最小值切入。解：（1）设 = ， ， ， 则在 中由余弦定理得即 的最小值为 又由题

10、设知 的最大值，即 的最小值为 即 a=2b （2）由已知椭圆方程为 由题设知直线 l 不垂直于 x 轴设直线 l 的方程为 设 则由直线 l 与圆 相切得： 将代入得： 代入得 直线 l 与椭圆相交于不同两点又由韦达定理得： ， （ 当且仅当 ，即 时等号成立） 的最大值为 2b（当 时取得） 由题设得 （此时 ） a=2b=4 进而由得 ，即 因此，由、得所求椭圆方程为 ，直线 l 的方程为 或 点评：这里导出的式为此类问题的共同基础：设 P 为椭圆 上任意一点， ，则 最小值为 据此 若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）。5、已知

11、斜率为 1 的直线 l 与离心率为 的双曲线 交于P、Q 两点，又直线 l 与 y 轴交于点 R，且 ， ，求直线和双曲线方程。分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。解：由 得 ， 双曲线方程为 设 ，直线 l 的方程为 将代入得 对于方程， 恒成立由韦达定理得 即 由此得 又由题设得 ，故得 由、联立解得 将代入得 再注意到 得 将、代入得 解得 ， 因此，由，得所求双曲线方程为 ，所求直线方程为 点评：（）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应

12、用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点 P、Q 的坐标运用的是“既设又解”，请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。（）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：已知式（ ）转化代入结论；已知式（ ）转化代入结论。同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。6、已知 ， （1）求点 P（x，y）的轨迹 C 的轨迹方程；（2）若直线 与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，-1），且有，试求 m 的取值范围。分析：对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦

13、中点或弦长问题转化。解：（1）由已知得 ， 由 得 ， 得 所求点 P 的轨迹 C 的方程为： （2）设 ，弦 AB 的中点 ，则将 l 的方程代入得由题意得 且 即中点 M 的坐标为 注意到 点 D 在弦 AB 的垂直平分线上 （ ， 且 ）， 且 ） 于是将代入得 或 此时再注意到由得 （关于 k 的二次函数隐含范围的发掘）于是由、所求 m 的取值范围 点评：（1）认知已知条件 ，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里， 为 k 的二次函数，又由这里

14、，故 。因此可解关于 k 的二次函数 m 的取值范围： 。这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认知这一些，便会导出 的错误结果。五、高考真题：五、高考真题：（一）选择题（一）选择题1.椭圆 的两个焦点为 ，过 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则 =（ ）A. B. C. D. 4分析：由已知 不防设点 P 在 x 轴正方，则以 代入椭圆方程得 ，故得点 ，从而 ，故选 C。2.点 P（-3，1）在椭圆 （ab0）的左准线上，过点 P 且方向为 的光线经过直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 分析：运用入射光线与反射光线的物理性质，刻意运用入射光线与反射光线的性质与联系。点 P（-3，1）关于直线 y=-2 的对称点为 左焦点 又方向为 的直线的斜率为 ，设入射光线与直线 y=-2 的交点为 M，则由入射光线与反射光线倾斜角之间的关系得 ，解得：c=1.再由点 P（-3，1）在左准线上得 ， ，应选 A。3.若动点（x，y）在曲线 （b0）上变化，则 的最大值为（ ）A. B. C.