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1、 世纪金榜 圆您梦想 第 1 页（共 19 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司第三十五讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题一、复习目标要求1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3了解圆锥曲线的简单应用。二、2010 年命题预测近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计 2007 年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。1求曲线（或轨
2、迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测 2010 年高考：1出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。三、知识精点讲解1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤 含 义 说 明1、 “建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适
3、当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限) ：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件 P 的点 M的集合 P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、 “代”：代换 用坐标法表示条件 P(M)，列出方程 f(x,y)=0常常用到一些公式。4、 “化”：化简 化方程 f(x,y)=0 为最简形式。要注意同解变形。5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根
4、或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法” ，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标 x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
5、 世纪金榜 圆您梦想 第 2 页（共 19 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线 Cf(x ，y)=0 与直线 ly=kx+b 相交于 A(x1，y1)、B(x 2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F，则可用
6、焦半径求弦长，| AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标( x， y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应
7、的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。四典例解析题型 1：求轨迹方程例 1 （1）一动圆与圆 2650xy外切，同时与圆 26910xy内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线219有动点 P， 12,F是曲线的两个焦点，求 12PF的重心 M的轨迹方程。解析：（1） （法一）设动圆圆心为 ()Mxy，半径为 R，设已知圆的圆心分别为 1O、 2，将圆方程分别配方得： 2(3)4x， 230y，当 A与 1O相切时，有 1| 当 与 2相切时，有
8、 20 将两式的两边分别相加，得 21|1O，即 22(3)(3)xyxy 移项再两边分别平方得： 1两边再平方得： 2408， xy1O2P 世纪金榜 圆您梦想 第 3 页（共 19 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司整理得21367xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是21367xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程 22()(3)1xy，由以上方程知，动圆圆心 ,M到点 1,0O和 ,的距离和是常数 12，所以点 M的轨迹是焦点为 1(3,0)O、 2(,)，长轴长等于 的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x轴上， 26c， a， 3c， 6a， 97b，圆心轨迹方程为21xy。
9、（2）如图，设 ,PM点坐标各为 1(,)(,PxyM，在已知双曲线方程中 3,1ab，910c已知双曲线两焦点为 120,0F， 12F存在， y由三角形重心坐标公式有1()130xy，即 13xy 。 10y， 。已知点 P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)1(0)9xy即所求重心 M的轨迹方程为： 291(0)xy。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例 2（2001 上海，3）设 P 为双曲线 42y21 上一动点， O 为坐标原点， M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是 。解析：（1）答案：x 24y 21设 P（x 0，
10、y 0） M（x ，y ） , 2xx 0，2y y 0 42x4 y21 x24 y21点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题 世纪金榜 圆您梦想 第 4 页（共 19 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司例 3 （1）设 AB 是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则F 1AB 的面积最大为（ ）A. B. C. D. （2）已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. （3）已知 A（3，2） 、B（4，0） ，P 是椭圆上一点，则|PA|PB|的最
11、大值为（ ）A. 10 B. C. D. 解析：（1）如图，由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点，则F 1OB 的面积为F 1AB 面积的一半。又，F 1OB 边 OF1 上的高为，而的最大值是 b，所以F 1OB 的面积最大值为。所以F 1AB 的面积最大值为cb。点评：抓住F 1AB 中为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：，又，所以，从而由双曲线的第二定义可得，所以。又，从而。故选 B。点评：“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式，从而得出 e 的取值范围。（3）解析：易知 A（3，2）
12、在椭圆内， B（4，0）是椭圆的左焦点（如图） ，则右焦点为F（4，0） 。连 PB，PF。由椭圆的定义知：，所以。由平面几何知识，即，而，所以。点评：由PAF 成立的条件，再延伸到特殊情形 P、A、F 共线，从而得出这一关键结论。例 4（1）（06 全国 1 文，21）设 P 是椭圆 21xya短轴的一个端点， Q为椭圆上的一个动点，求 PQ的最大值。（2） （06 上海文，21）已知在平面直角坐标系 xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F,右顶点为 (2,0)D,设点 1,2A.求该椭圆的标准方程； 世纪金榜 圆您梦想 第 5 页（共 19 页）_ _ _山东世纪金榜书业
13、有限公司若 P是椭圆上的动点，求线段 PA中点 M的轨迹方程；过原点 O的直线交椭圆于点 ,BC，求 面积的最大值。（3） （06 山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 l。()求椭圆的方程；()直线 l过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当 AOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程。解析：（1）依题意可设 P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|= ，又因为 Q 在椭圆上，x2+(y 1)2所以，x 2=a2(1 y2)， |PQ|2= a2(1y 2)+y22y+1=(1a 2)y22y+1+a 2，=(1a 2)(y )2 +1+a2 。11 a2 11 a2因为|y| 1,a1, 若 a , 则 | |1, 当 y= 时, |PQ|取最大值 ，211 a2 11 a2 a2a2 1a2 1若 10， 0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 2：由（）得 A（2 ，0） ，B（2，0）.设 M（x 1， y1） ，N（x 2， y2） ，则2b0),其半焦距 c=6,221165aPF 3,b2=a2-c2=9。所以所
