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1、104第四章 不定积分4-1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分1定义定义 1 如果对任一，都有Ix或 )()(xfxFdxxfxdF)()(则称为在区间 I 上的原函数。)(xF)(xf例如：，即是的原函数。xxcos)(sinxsinxcos，即是的原函数。 22 11)1ln( xxx )1ln(2xx 211x2原函数存在定理：原函数存在定理：如果函数在区间 I 上连续，则在区间 I 上一定有原)(xf)(xf函数，即存在区间 I 上的可导函数，使得对任一，有。)(xFIx)()(xfxF注注 1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。)
2、(xf)(xf设是的原函数，则，即也为的原函数，)(xF)(xf)()(xfCxFCxF)()(xf其中为任意常数。C注注 2：如果与都为在区间 I 上的原函数，则与之差为常数，)(xF)(xG)(xf)(xF)(xG即（C 为常数）CxGxF)()(注注 3：如果为在区间 I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表)(xF)(xfCxF)(C达的任意一个原函数。)(xf3定义定义 2 在区间 I 上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间 I 上的)(xf)(xf不定积分，记为。dxxf)(如果为的一个原函数，则)(xF)(xf， （为任意常数）CxFdxxf)()(C例 1 因为 ， 得 23
3、 )3(xxCxdsx33 2105例 2 因为，时，；时，得0xxx1)(ln0xxxxx1)(1 )ln(，因此有xx1) |(lnCxdxx|ln1例 3 设曲线过点，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。)2, 1 (解：设曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为)(xfy ),(yxxdxdy2从而 Cxxdxy22由，得，因此所求曲线方程为2) 1 (y1C12 xy由原函数与不定积分的概念可得：1)()(xfdxxfdxd2)dxxfdxxfd)()(3)CxFdxxF)()(4)CxFxdF)()(5)Cxdx二、积分公式二、积分公式1) (为常数)Ckxkdxk2)
4、 () Cxdxx11 13) Cxxdx|ln4) Cxxdxarctan125) Cx xdxarcsin 126)Cxxdxsincos1067)Cxxdxcossin8)Cxxdxxdxtanseccos2 29)Cxxdxxdxcotcscsin2 210)Cxxdxxsectansec11)Cxxdxxcsccotcsc12)Cedxexx13)Caadxax x ln14)Cxxdxcoshsinh15)Cxxdxsinhcosh例 4Cxdxxdxxx27 25 2 72三、不定积分的性质三、不定积分的性质性质 1dxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质 2， （为常数
5、，）dxxfkdxxkf)()(k0k例 5 求 dxxx)5(2解： CxxxxCxxdxxdxxdxxxdxxx310 72310 725 )5()5(323 2721 2521 25 2例 6 求 dxxx23) 1(解： 107CxxxxCxxdxxxxdxxxxxdxxx1|ln332310 72)133( 133) 1(223 27222323例 7 求 dxexexxx)2cos3(解：CexeCeexedxexdxdxedxexex xx xxxxxx2ln1)2(sin3)2ln()2(sin3)2(cos3)2cos3( 例 8求 dxxxxx )1 (122解：Cxxdx
6、xdxxdxxxxxdxxxxxarctan|ln 111)1 ()1 ( )1 (122222例 9 求 xdx2tan解：Cxxdxxdxdxxxdxtan sec ) 1(sectan222例 10求 dxx 2sin2解：108Cxxxdxdxdxxdxx)sin(21cos21 212cos1 2sin2小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用作业：190 页 1， （4） （10） （13） （14） （18） （19） （20） （22）（23） （24）1094-2、换元积分法、换元积分法一、一、第
7、一类换元积分法第一类换元积分法设为的原函数，即 或 )(uF)(uf)()(ufuFCuFduuf)()(如果 ，且可微，则)(xu)(x)()()()()()()(xxfxufxuFxFdxd即为的原函数，或)(xF)()(xxf)()()()()()()( xuxuduufCuFCxFdxxxf 因此有1定理定理 1 设为的原函数，可微，则)(uF)(uf)(xu(2-1) )()()()( xuduufdxxxf 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。例 1求 xdx2cos2解：Cxxxddxxxxdx2sin22cos)2(2cos2cos2例 2求 dxx231解：Cxxdxdxx
8、xdxx|23|ln21)23(231 21)23(231 21 231例 3求 dxxxxxex)tan12(22解：原式=dxxxdxxxdxxexcossin1222Cxxexdxxdxdxexx|cos|ln)1 (31coscos1)1 ()1 (2123 2221 2222例 4求 ， dxxa221解： Cax aaxdaxadxaxadxxaarctan1)( )(111)(111122222110例 5求 dxax221解：dxaxaxadxax)11(21122Caxax aCaxaxaaxdaxaxdaxa|ln21|ln|ln21)(1)(121例 6求 dxexxxx
9、1 )ln21 (13解： dxexdxxxdxexxxxx331 )ln21 (11 )ln21 (1Cexxdexdxxx3332|ln21|ln21332)ln21 (ln211 21例 7求 xdx2cos解： 2cos21 22cos1cos2xdxdxdxxxdxCxxxxdx2sin41 222cos41 2例 8求 xdxsec解： dxxxdxcos1secCxxCxxxd x |tansec|ln| )2cot()2cos(|ln)2( )2sin(1 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法，第一类换元法也称为“凑微分”的方法。 作业：P205，2， （1）-（28
10、）二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法111定理定理 2 设是单调的可导函数，且，又设 具有原)(tx0)( t)()(ttf函数，则(2-2)()()()(xtdtttfdxxf其中为的反函数。)(xt)(tx公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例 9求 ， dxxa22)0(a解：令 ，则taxsin22t，因此有taxacos22tdtadxcosCxaxaxCaxa axa axCttatCtatdtttdttdtatadxxa222222222222222221arcsin2a2arcsin2acossin22a2sin42a22cos1a cosa coscos例 10 求
11、，22xadx)0(a解：令 ，则taxtan22t，因此有taxasec22tdtadx2sec12222222|ln|ln |tansec|ln sec secsec1CaxxCax axaCtttdttdtataxadx 112其中。用类似方法可得aCCln1Caxx axdx |ln2222例 11 求 322xxdx解： dxxxxxdx 2121 3222Cxxdx21arctan21) 1()2() 1(122小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法 也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即 或，与，分别适用于三类函数t
12、axsintaxcostaxtantaxsec，与。 “倒代换”也属于第二类换)(22xaf)(22axf)(22axftx1元法。 作业作业：205 页 1， （34） （35） （36） （37）1134-3、分部积分法、分部积分法一、分部积分法一、分部积分法 1分部积分公式：设 ，则有)(xuu )(xvv vuvuvu )(或 dvuduvvud)(两端求不定积分，得dxvudxuvdxvu )(或 dvuduvvud)(即(3-1) duvvudvu或 (3-2)dxuvvudxvu公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。例 1求 xdxxcos解： xxdxd
13、xxsincosCxxxxdxxx cossinsinsin例 2求 dxexx2解： xxdexdxex22Cexeexdxexeexdxxeexdxeexxxxxxxxxxx22)(2222222注 1：由例 1 和例 2 可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。udv114例 3求 xdxxln解： 2ln21lnxdxxdxx CxxxCxxxxdxxxxdxxx 222222241ln2121ln21ln21lnln21例 4求 xdxxarctan解： 2arctan21arctanxdxxdxxCxxxxdxxxxdxxxxxxdxxx arctanarctan21)111 (arctan211arctan21arctanarctan212
