《高等数学 定积分与微积分基本定理期末复习学案(教师用详解)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 定积分与微积分基本定理期末复习学案(教师用详解)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定积分与微积分基本定理一、非常了解、考试大纲 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 了解微积分基本定理的含义.二、非常考题、高考真题 例 1、 （2010宁夏）设 y=f（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有 0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间0，1上的均匀随机数 x1，x2，xN和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点（xi，yi） （i=1，2，N） ，再数 出其中满足 yif（xi） （i=1，2，N）的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 _ 考点：定积分在求面积中的应用；模拟方法估计概率；几何概型。 专题
2、：计算题。分析：要求10f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得解答：解：由题意可知得，故积分的近似值为点评：本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础 题例 2、计算的结果是（ ）A、4 B、2 C、 D、考点：定积分。 专题：计算题。 分析：根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2 为半径第一象限内圆弧与坐标 轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可解答：解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2 为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积= 4=故选：C 点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数
3、，也 可利用几何意义进行求解，属于基础题 例 3、 （2009广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 V甲和 V已（如图所示） 那么对于图中给定的 t0和 t1，下列判断中一定正确的是（ ）A、在 t1时刻，甲车在乙车前面B、t1时刻后，甲车在乙车后面 C、在 t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，乙车在甲车前面 考点：定积分在求面积中的应用；函数的图象。 专题：数形结合。分析：利用定积分求面积的方法可知 t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在 t0时刻甲 在乙的前面；又因为在 t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走
4、的路程， 甲在乙的前面；同时在 t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样最后得到 A 正确， B、C、D 错误 解答：解：当时间为 t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为 t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；从图象上可知 ab，所以在 t1时刻，a+c+dc+d+b 即甲的路程大于乙的路程，A 正确；t1 时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以 B 错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C 错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过 的路程
5、大于乙走过的路程，所以 D 错 故答案为 A点评：考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信 息的能力，数形结合的数学思想的运用能力例 4、由曲线 y2=2x 和直线 y=x4 所围成的图形的面积为 18 考点：定积分在求面积中的应用。 专题：计算题；数形结合。分析：先求出曲线 y2=2x 和直线 y=x4 的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可解答：解：解得曲线 y2=2x 和直线 y=x4 的交点坐标为：（2，2） ， （8，4）选择 y 为积分变量由曲线 y2=2x 和直线 y=x4 所围成的图形的面积S
6、=（ y2+4y y3）|24=18故答案为：18 点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能 力应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题例 5、若 y=f（x）的图象如图所示，定义，则下列对 F（x）的性质描述正确的有 （1） （2） （4） （1）F（x）是0，1上的增函数；（2）F（x）=f（x） ；（3）F（x）是0，1上的减函数；（4）x00，1使得 F（1）=f（x0） 考点：定积分；导数的概念。 专题：计算题；数形结合。 分析：根据定积分的几何意义，连续曲线 y=f（x）0 在a，b上形成的曲边梯形的面积为S=abf（x）
7、dx，可得如图的阴影部分的面积为 F（x） ，根据上边的图形得到 F（x）为增函 数；且 f（x）为 F（x）的原函数；根据下边的图形可得（4）正确 解答：解：由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且 F（x）=f（x） ，当 x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大， 所以 F（x）为增函数，故（1） 、 （2）正确；由定积分的几何意义可知，必然）x00，1，使 S1=S2， 此时 S矩形 ABCO=S曲边三角形 AOD即 F（1）=01f（t）dt=f（x0） ，故（4）正确 所以对 F（x）的性质描述正确的有（1） （2） （4） 故答案为：（1） （2） （4）3、非
8、常训练、当堂检测1、 （2011湖南）由直线与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ）A、B、1C、D、考点：定积分在求面积中的应用。 专题：计算题。 分析：为了求得与 x 轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx 即为被积函数解答：解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=cosxdx=（）=，所以围成的封闭图形的面积是 故选 D点评：本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求 解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题2、 （2010山东）由曲线 y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（ ）A、B、C、
9、D、考点：定积分在求面积中的应用。 专题：计算题。分析：要求曲线 y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx 即可解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1） ， （0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选 A 点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积 3、从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M（x，y） ，则点 M 取自阴影部分的概 率为（ ）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用；几何概型。 专题：计算题。 分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图
10、（阴影部分）平面 区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解 解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型， 由图可知基本事件空间所对应的几何度量 S（）=1， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）= 所以 P（A）=故选 B 点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且 这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P=求解4、如图中阴影部分的面积是（ ）A、B、C、D、考点：定积分在求面积中的应用。
11、专题：计算题。 分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可解答：解：直线 y=2x 与抛物线 y=3x2解得交点为（3，6）和（1，2）抛物线 y=3x2与 x 轴负半轴交点（，0）设阴影部分面积为 s，则=所以阴影部分的面积为，故选 C点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在 x 轴下方 的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和） ，属于基础题5、 （2009福建）（1+cosx）dx 等于（ ）A、B、2C、2D、+2考点：定积分。 专题：计算题。 分析：由于 F（x）=x+sinx 为 f（x）=1+cosx 的
12、一个原函数即 F（x）=f（x） ，根据abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值 解答：解：（x+sinx）=1+cosx，（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin=+2故选 D 点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题6、 （2008山东）设函数 f（x）=ax2+c（a0） ，若，0x01，则x0的值为 考点：定积分的简单应用。分析：求出定积分01f（x）dx，根据方程 ax02+c=01f（x）dx 即可求解解答：解：f（x）=ax2+c（a0） ，f（x0）=01f（x）dx=+cx01= +c又f（x0）=ax02+cx02= ，x00，
13、1x0=点评：本题考查了积分和导数的公式，属于基本知识基本运算同时考查了恒等式系数相 等的思想4、非常提高、课后作业1、若0k（2x3x2）dx=0，则 k 等于（ ）A、0B、1 C、0 或 1D、以上均不对 考点：定积分。 专题：计算题。 分析：利用定积分公式求出等式左边的值，利用其等于 0 解出 k 的值即可解答：解：0k（2x3x2）dx=0k2xdx0k3x2dx=x2|0kx3|0k=k2k3=0，解可得 k=0 若 k=1 故选 C 点评：考查学生利用定积分解方程的能力2、如图所示，曲线 y=x2和曲线 y=围成一个叶形图（阴影部分） ，其面积是（ ）A、1B、C、D、考点：定积
14、分；定积分的简单应用。 专题：计算题。分析：联立由曲线 y=x2和曲线 y=两个解析式求出交点坐标，然后在 x（0，1）区间上 利用定积分的方法求出围成的面积即可解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为 S，则 S=01（x2）dx=故选：C 点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力 3、下列计算错误的是（ ）A、sinxdx=0B、01=C、cosxdx=2cosxdxD、sin2xdx=0考点：定积分。 专题：计算题。 分析：利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出 D 错解答：解：sinxdx=（cosx）|=（cos）（cos（）=0因为 y=cosx
15、为偶函数所以=故选 D 点评：本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值 4、 （2010陕西）从如图所示的长方形区域内任取一个点 M（x，y） ，则点 M 取自阴影部分部分的概率为 考点：定积分的简单应用。 专题：数形结合。 分析：本题利用几何概型概率先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率 计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可 解答：解：长方形区域的面积为 3，阴影部分部分的面积为，所以点 M 取自阴影部分部分的概率为故答案为： 点评：本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运 算公式简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型5、由曲线和直线 y=x4，x=1，x=2 围成的曲边梯形的面积是 ln2+1 考点：定积分在求面积中的应用。 专题：计算题。分析：曲线 y= 与直线 y=x4，x=2，x=1 所围成的图形面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再代入定积分的公式求出结果即可解答：解：联立两条直线的方程，得和曲线 y= 与直线 y=x4，x=2，x=1 所围成的图形面积为=（x2+lnx+4x）|12=ln2+21 25
