高中数学 5.4解斜三角形

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1、七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版第五章第五章 平面向量平面向量四四 解斜三角形解斜三角形 【考点阐述】 正弦定理余弦定理斜三角形解法 【考试要求】 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 【考题分类】 （一）选择题（共（一）选择题（共 7 7 题）题）1. 1.（安徽卷文（安徽卷文 5 5）在三角形中，,则的大小为（ ）ABC5,3,7ABACBCBACAB C D2 35 63 4 3解：由余弦定理，2225371cos2 5 32BAC 2 3BAC2. 2.（北京卷文（北京卷文 4 4）已知中，那么角等于（ ）A

2、BC2a 3b 60B oAA B C D135o90o45o30o【解析】由正弦定理得: 2322,sinsin,sinsinsinsin23abABABAB【答案】C C45abABAoQ3.3.（福建卷理（福建卷理 10 10 文文 8 8）在ABC 中，角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则3ac角 B 的值为A. B. C.或D. 或6 3 65 6 32 3解： 由得即222(a +c -b )tanB= 3ac222(a +c -b )3 cos= 22 sinB acB3 coscos= 2 sinBBB,又在中所以 B 为或3sin= 2B

3、32 34. 4.（海南宁夏卷理（海南宁夏卷理 3 3）如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为A. B. C. D. 185 43 23 87解：设顶角为 C，因为，由余弦定理5 ,2lcabc222222447cos22 228abccccCabcc七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版5. 5.（山东卷文（山东卷文 8 8）已知为的三个内角的对边，向量abc，ABCABC，若，且，则角( 31)(cossin)AA，mnmncoscossinaBbAcC的大小分别为（ ）AB，A B C D 6 3，2 36， 3

4、 6， 3 3，解析：本小题主要考查解三角形问题。，3cossin0AAQ;3A2sincossincossin,ABBAC，2sincossincossin()sinsinABBAABCC.选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法.2C 6B6. 6.（陕西卷理（陕西卷理 3 3）的内角的对边分别为，若ABCABC，abc，则等于（ ）26120cbBo，aA B2 C D632解：由正弦定理，于是621sinsin120sin2CCo30302CAacoo7. 7.（四川卷文（四川卷文 7 7）的三内角的对边边长分别为，若，ABC, ,A B C, ,a b c5,22ab AB则( )

5、cosB （） （） （） （）5 35 45 55 6【解】：中 故选ABC5 2 2abAB 5sinsin2 sinsin22sincosABABBB 5cos4B B； 【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式； 【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的； 在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求 值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。 （二）填空题（共（二）填空题（共 6 6 题）题）1. 1.（湖北卷理（湖北卷理 12 12）在中，三个角的对边边长分别为,则ABC, ,A B C3,4,6ab

6、c的值为 .coscoscosbcAcaBabC解：由余弦定理，原式16369936 161693661 2222七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版2. 2.（湖北卷文（湖北卷文 12 12）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知则 A .3,3,30 ,abc解：由余弦定理可得,23923 3cos303c o330 ()6caACo或3.3.（江苏卷（江苏卷 13 13）若，则的最大值 。2,2ABACBCABCS【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设 BC，则 AC x2x，根据面积公式得=

7、，根据余弦定理得ABCS21sin1 cos2ABBCBxB，代入上式得2222242cos24ABBCACxxBABBCx24 4x x=ABCS2221281241416xxxx由三角形三边关系有解得，2222xxxx2 222 22x故当时取得最大值【答案】2 2x ABCS2 22 24. 4.（山东卷理（山东卷理 15 15）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B_.1, 3 解：mn3cossin0AA,3AsincossincossinsinABBACC2sincossincos

8、sin()sinsinABBAABCC.2C6B5. 5.（陕西卷文（陕西卷文 13 13）的内角的对边分别为，若ABCABC，abc，则 26120cbBo，a 2解： 由正弦定理，于是621sinsin120sin2CCo30302CAacoo6. 6.（浙江卷理（浙江卷理 13 13 文文 14 14）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为、b、c ，若a，则_。CaAcbcoscos3Acos解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：,即,( 3sinsin) cossincosBCAAC3sincossin()sinBAACB七彩教育网 http:/七彩教育

9、网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版3cos.3A （三）解答题（共（三）解答题（共 1616 题）题） 1. 1.（海南宁夏卷文（海南宁夏卷文 17 17）如图，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，BD 交 AC 于 E，AB=2。 （1）求 cosCBE 的值； （2）求 AE。【试题解析】：.(1)因为0009060150 ,BCDCBACCD所以，015CBE0062coscos 45304CBE(2)在中，故由正弦定理得ABE2AB ,故00002 sin 4515sin 9015AE00122sin30262cos1562 4AE 【

10、高考考点高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用 【易错点易错点】：对有关公式掌握不到位而出错。 【全品备考提示全品备考提示】：解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视。 2. 2.（湖南卷理（湖南卷理 19 19）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东且与点 A 相距 40海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45o2+(其中 sin=，)且与点 A 相距 10海里的位置 C. 45o26 26090oo13（I）求该船的行驶速度（单位：海

11、里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （I）如图，AB=40，AC=10，21326,sin.26BAC由于,所以 cos=090oo2265 261().2626由余弦定理得 BC=222cos10 5.ABACAB ACgg所以船的行驶速度为（海里/小时）.10 515 52 3EDCBA七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版（II）解法一 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、C 的坐标分别是 B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由

12、题设有，x1=y1= AB=40,2 2x2=ACcos,10 13cos(45)30CADoy2=ACsin10 13sin(45)20.CADo所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=,直线 l 的方程为 y=2x-40.20210又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d=|05540|3 57.14所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在ABC 中，由余弦定理得，222 cos2ABBCACABCAB BC=.222402105 1013 240 210 5 3 10 10从而2910sin1cos1.1010ABCABC在中，由

13、正弦定理得，ABQAQ=1040 2sin1040.sin(45)22 10 210ABABC ABCo由于 AE=5540=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EP BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 Rt中，PE=QEsinQPEsinsin(45)PQEQEAQCQEABCo=所以船会进入警戒水域.5153 57.53.3.（江苏卷（江苏卷 17 17）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B，及 CD 的中点 P 处，已知km, 20AB 七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初

14、中试卷免费下载，全部 word 版,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A，B10CDkm 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道 的总长为 ykm。 （I）按下列要求写出函数关系式： 设，将表示成的函数关系式；()BAOrady 设，将表示成的函数关系式。()OPx kmyx（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长 度最短。 【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO=(rad) ，则, 故10 coscosAQOA，又 OP，10 cosOB10 10tan所以， 101010 10tancoscosyOAOBOP所求函数关系式为2