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1、第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制年级年级高一学科学科数学内容标题内容标题平面向量概念及线性运算编稿老师编稿老师褚哲一、学习目标一、学习目标1. 了解向量产生的物理背景，理解共线向量,相等向量等概念，理解向量的几何表示；2. 掌握向量的加法，减法，数乘的运算，并理解其几何意义；3. 能由数的运算律类类比向量的运算律，并结合图形验证相关的运算律，强化对知识的形成过程的认识，并正确表述探究的结果；4. 通过学习向量的线性运算，初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.二、重点、难点重点、难点重点：重点：1. 向量的概念,，相等向量的概念和向量的几何表示；2. 向量的加法，减法，数
2、乘运算的运算法则及其几何意义.难点：难点：1. 对向量概念的理解；2. 对减法定义的理解及正确运用法则，用运算律进行向量的线性运算，利用向量方法解决几何问题.三、考点分析三、考点分析向量的线性运算是向量的基础部分，考查时主要以选择题、填空题的形式出现，侧重考查向量的基本概念、向量运算的关系；在解答题中侧重考查向量与其他章节的综合，预计高考中向量的内容所占的比重仍较大.一、平面向量的基本概念一、平面向量的基本概念1. . 向量向量既有大小、又有方向的量叫做向量.注：注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可.2. . 向量的表示向量的表示（1）用一个小写字母表示向量，如 a，b 等.（2）用有
3、向线段表示向量，以 A 为起点，B 为终点的向量记为，注意起点写在ABuuu r前面、终点写在后面.3. . 向量的模向量的模向量的大小，称作向量的长度（或称模） ，记作.ABuuu rABuuu rABuuu r第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制注：注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小.4. . 零向量零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0.注：注：0；零向量的方向是任意的.05. . 单位向量单位向量长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量.6. . 基线基线通过有向线段的直线，叫做向量的基线.ABuuu rABuuu r7平行向量平行向量如果向量的基线相互平
4、行或重合则称这些向量平行或共线，记作.ab注：注：规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有；由于任a0意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上.8. . 相等向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量 a 与 b 相等，记作.ab注：注：零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；反之不成立
5、.abab9. . 位置向量位置向量任给一定点 O 和向量，过 O 作有向线段=，则点 A 相对于点 O 的位置被向量aOAuu u ra唯一确定，这时向量叫做点 A 相对于点 O 的位置向量.aOAuu u r二、向量的运算二、向量的运算（一）向量的加法（一）向量的加法1. . 向量的加法：向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2. . 三角形法则三角形法则如图，已知向量 a、在平面内任取一点，作a，则向量叫做AABBCACa 与的和，记作 a+，即 a+，此法则称为向量求和的三角形法则，此法则称为向量求和的三角形法则ACBCAB规定：规定：a + 0 = 0 + a3. . 平行
6、四边形法则平行四边形法则第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制以同一点 A 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作平行四边形，则以 A 为起点的对角线就是 a 与 b 的和.ACuuu r注：注：向量加法的三角形法则，既适用于两向量不共线，也适用于两向量共线而平行四边形法则只适用于两向量不共线，当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性因此两种法则都应熟练掌握.两个向量的和仍是一个向量.探究：探究：1. 当向量 a 与 b 不共线时，的方向与 a，b 都不相同，且；ababab2. 当向量 a 与 b 同向时，a，b 都同向，且；abab
7、ab3. 当向量 a 与 b 反向时，若，则的方向与相同，且；若ababaabab，则的方向与 b 相同，且；若，则abababbaabab 04. . 向量求和的多边形法则向量求和的多边形法则已知 n 个向量，依次把这 n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第 n 个向量的终点为终点的向量叫做这 n 个向量的和向量.这种法则叫做向量求和的多边形法则.即5. . 向量加法的运算性质向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量 a 的和有，a00a（2）向量加法的交换律和结合律（3）三角形不等式：对于任意两个向量，都有.ba,bababa（二）向量的减法（二）向量的减法1. . 向量减法
8、运算的几何意义如图，已知向量 a，b，在平面内任取一点，作，则，OOAauuu rOBbuuu rBAabuuu r即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量. abba注：注：两个向量的差仍是一个向量；要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别；由向量的加、减法，可以得出两个常用的结论：第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和为，0即：.122334110uuuuu ruuuuu ruuuuu ruuuuuuu ruuuuu rnnnA AA AA AAAA A平行四边形中，有，ABCDABADACuuu ruuu ruu
9、u rABADDBuuu ruuu ruuu r2. . 相反向量相反向量定义：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作a注：注：a 与互为相反向量； a 00（三）向量的数乘运算（三）向量的数乘运算1. . 向量的数乘：向量的数乘：实数与向量的积是一个向量，它的长度与方向规定如下：a；aa当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相0aa0aa反特别地，当时，.0a 02. . 向量数乘运算的运算律：向量数乘运算的运算律：设为实数，为向量，则有，ab，；()()aa （第一分配律） ；()aaa（第二分配律） ；()abab特别地，有；()()()aaa ()abab
10、注：注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量，以及任意ab，实数，恒有.12，()abab 12123. . 平行向量的基本定理；平行向量的基本定理；如果 a=b,则 ab；反之,如果 ab,且 b0,则一定存在唯一一个实数 ,使 a=b. .单位向量：单位向量：给定一个非零向量 a,与 a 同方向且长度等于 1 的向量,叫作向量 a 的单位向量.（四）轴上向量的坐标运算（四）轴上向量的坐标运算1. . 轴；轴；规定了方向和长度单位的直线叫做轴.如图所示.2. . 轴上向量的坐标轴上向量的坐标在轴 l 上取单位向量 e,使 e 的方向与 l 相同，对轴上任意向量 a，一定存在
11、唯一实数x，使 a=xe，x 叫做 a 在 l 上的坐标.当 a 与 e 同方向时，x 是正数，当 a 与 e 反方向时，x是负数；e 叫做轴 l 的基向量基向量.a 叫轴 l 的轴上向量.小结；小结；实数与轴上的向量建立起一一对应关系，于是可用数值表示向量.3. . 轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.4. . 轴上向量的坐标公式，数轴上两点间的距离公式轴上向量的坐标公式，数轴上两点间的距离公式公式（1）AB+BC=AC第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制公式（2）AB=x2x1（轴上向量坐标
12、公式）即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标公式（3）|AB|=|x2x1|知识点一：平面向量的基本概念知识点一：平面向量的基本概念例 1. 给出下列命题：两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；若，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；DCAB 若，则；,ab bcrr rracrr若，则/ , /ab bcrr rr/acrr其中所有正确命题的序号为 .思路分析：思路分析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，与起点、终点的位置无关，故不正确；当时，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上，故不正确；由，DCAB ba 则，且与的方向相同；由，则，且与的方向相
13、同，则与abrrabbcrrbcrrbca的长度相等且方向相同，故，是正确的；对于，当时，与不一定平cca 0bac行，故是不正确的.所以正确命题的序号为.解题过程：解题过程：解题后思考：解题后思考：对向量的相关概念要充分理解.知识点二、向量的线性运算知识点二、向量的线性运算例 2. 下列命题：如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与之一的方向相同；abba ba,在中，必有；ABC0CABCAB若，则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点；0ABBCCAuuu ruuu ruu u rr若均为非零向量，则与一定相等.ba,abrrabrr其中真命题的个数为（ ）个A. 0 B. 1 C.
14、 2 D. 3思路分析：思路分析：假命题，当时，命题不成立.0abrrr真命题. 假命题，当 A、B、C 三点共线时，也可以有.0ABBCCAuuu ruuu ruu u rr假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为.abababrrrr解题过程：解题过程：B解题后思考：解题后思考：对于，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.例 3. 已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的 3
15、 个顶点 A、B、C 的向量分别为，, ,a b cr r r则向量等于（ ）ODA. B. C. D. abcrrrabcrrrabcrrrabcrrr思路分析：思路分析：如图所示，点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别为，结cba,合图形有：ODOAADOABCOAOCOBacb uuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu rrrr解题过程：解题过程：B解题后思考：解题后思考：灵活掌握向量加法、减法的三角形法则的应用，相等向量是指长度相等、方向相同的向量，与它的位置没有关系.例 4. 在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足2，则（ ）BDDCADA. . b+ c B. . c b C. . b c D. . b+ c2313532323131323思路分析：思路分析：bc， （bc） ，BCACABBD23BC23+c+ （bc） b+ cADABBD232313解题过程：解题过程：A解题后思考
