高中数学三角函数知识点总结

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1、第 1 页共 14 页第 1 页共 14 页三角函数1.1.角的概念推广角的概念推广后，包括正角、 0 、负角，与终边相同的角表示为。Zkk,360|o、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限终边角终边角： x 轴上； Zkk,180|oy 轴上； 00|18090 ,kkZ第一象限；| 22,2kkkZ第二象限；| 22,2kk

2、kZ第三象限；3| 22,2kkkZ第四象限3| 222,2kkkZ终边在坐标轴上的角：S=k90o，kZ；终边在直线 y=x 上的角：S=45o+k180o，kZ2.2. 弧度制弧度制：角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读弧度。如果半径为 r 的圆的圆心角所对的弧长为 l，那么，角的弧度数的绝对值是=l/r，其中的正负由角的终边的旋转方向决定。角度制与弧度制的转化只要通过180o=rad 就可以实现。公式：|；换算：180弧度； 1 弧度； 1

3、弧度l r0 18057.305718oo 180扇形：弧长 L ，面积 S 。r1 2l r 21 2r21 2l l=nR/180=R； S=nR2/360=(1/2)R2=(1/2)lR。3.3. 任意角的三角函数：任意角的三角函数：定义：角终边上任意一点 P(x，y)，则 r，220xyr、其中 x、y 分别为任意点的横、纵坐标，r 为任意点到原点的距离。六个三角函数的定义依次 sin=y/r；cos=x/r；tan=y/x；cot=x/y；csc=r/y；sec=r/x；、单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆；一些特殊角的三角函数值一些特

4、殊角的三角函数值函数值角函数06 4 3 2正弦01 2223 21余弦13 22 21 20正切03 313无意义第 2 页共 14 页第 2 页共 14 页三角函数线：三角函数线：角的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则有向线段有向线段、是角的正弦线、余MPOM弦线。过点 A(1,0)作单位圆的切线，交的终边或反向延长线交于点 T，则有向线段有向线段 AT 是角的正切线。yx的终边TMPOAxy的终边TMPOAxy的终边T MPOAxy的终边TMPOAsinMPcosOMtanAT 各象限角的各种三角函数值符号各象限角的各种三角函数值符号:

5、 :一全二正弦,三切四余弦sincostan 同角三角函数关系式：同角三角函数关系式：八大关系：、sincsc=1、cossec=1、tancot=1；、sin2+cos2=1、sec2=tan2+1、csc2=cot2+1；、tan=sin/cos、cot=cos/sin。诱导公式（诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。诱导公式（诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。）注意：注意：、2k，的三角函数值等于的同名三角函值，前面加上把看成锐角时原函数的符号。、/2，3/2 的三角函数值等于的余角的三角函数值，前面加上把看成锐角时原函数的符号。、 “奇变偶不变，符号看象限”释义：所谓“奇偶”

6、是相对与 /2 的倍数而言的，例如：是 /2 的 2 倍就是“偶” 、3/2 是/2 的 3 倍就是“奇” ；所谓“变”与“不变”是相对于函数的名而言的，例如：原来是“sin”现在是“cos”就是“变” 、原来是“sin”现在还是“sin”就是“不变” ；所谓的“符号”是指变化后三角函数前面符号的正负；所谓“看象限”是指把看成锐角时的新的角度对应的象限，例如：原来为“” ，把“”看成是锐角，这时“”属于第一象限，则“”就属于第二象限、 “3/2”就属于第三象限、 “”就属于第四象限。sincostansincostansincostansincostan2sincostan2ksincos

7、tan口诀三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限sincos2cossin2cossin3 2sinsin3 2sinsin口诀三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限第 3 页共 14 页第 3 页共 14 页5 5、三角变换、三角变换1 1和、差角公式和、差角公式；)sin(sin()sincoscossin；)cos(cos()coscossinsinm； =；tan()tantan 1tantan tan()t

8、antan 1tantan 2 2二倍角公式二倍角公式； 2sin2sincos；2cos22cossin22cos121 2sin2tan22tan 1tan 倍角公式变形：降幂公式倍角公式变形：降幂公式; ; cossinsin2 22sin1 cos2 22cos1 cos2 2半角公式半角公式(*)(*)(*)(*) cos1cos1 2tan,2cos1 2cos,2cos1 2sin sincos1 cos1sin 2tan基本技巧：基本技巧：1 的妙用：122sincos变角： (x+y)(xy) 2 y (x+y)(xy) 2x 等变名：切化弦；弦化切化一辅助角：a sinxb

9、 cosx 其中, 22sin()(0)ababtanb a(,)2 2 6 6、三角函数的图像和性质、三角函数的图像和性质三角函数性质y=sinxy=cosx图象定义域RR值域-1，1-1，1对称轴x=k+1/2(kZ)x=k(kZ)对称点(k，0) (kZ)(k+1/2，0) (kZ)奇偶性奇偶周期性T=2T=2单调性2k-1/2，2k+1/2( kZ) 2k+1/2，2k+3/2( kZ) 2k-，2k( kZ) 2k，2k+( kZ) 第 4 页共 14 页第 4 页共 14 页三角函数性质y=tanxy=cotx图象定义域xxR 且 xk+1/2，kZ xxR 且 xk，kZ 值

11、=k+1/2x=k+1/2 与与 x=0x=0奇偶性奇偶性偶偶偶偶偶偶周期性周期性T=T=T=T=非周期函数非周期函数单调性单调性kk，k+1/2(kZ)k+1/2(kZ)k+1/2k+1/2，k+(kZ)k+(kZ)kk，k+1/2(kZ)k+1/2(kZ)k+1/2k+1/2，k+(kZ)k+(kZ)单调性比较复杂，考查的单调性比较复杂，考查的可能性非常小，结合图象可能性非常小，结合图象具体把握具体把握7 7、的图像和性质的图像和性质：sinyAxy = Asin(x+)的相关概念：、振幅：y = Asin(x+)的系数 A A 称为该函数的振幅振幅；、周期：y = Asin(x+)的周期

12、周期 T 为 T=2/T=2/；、频率：y = Asin(x+)的频率频率 f 为 f=1/T=/2f=1/T=/2；、相位：y = Asin(x+)的相位相位为 x+x+；、初相：y = Asin(x+)在 x 等于 0 时的相位为初相初相。1、作图：五点法，依次取 0 、。x23 22第 5 页共 14 页第 5 页共 14 页2、周期 T。周期函数的相关概念：2 | 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫着周期函数。非零常数 T 叫着这个函数的周期。周期函数的周期不止一个，如果在周期

13、函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。例如正弦函数是周期函数，2k(kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是2。3、最大值：A0 时，当时，y 取最大值 A。x2最小值：A0 时，当时，y 取最小值A。x3 24、对称轴、对称中心：对称轴满足:0xx )(20zkkx对称轴中心满足:),(0Bx)(0zkkx5、单调区间：A0 时，增区间：解不等式 22kx22k减区间：解不等式 22kx322kA0)的周期是 T，单调增区间是解不等式。tanyAx22kxk7、三角变换： (A0，0)法 1：将 ysinx 的图像0,x| | 0,x| | 沿轴向左平移个单位沿轴向右平移个单位sinyx1 横坐标伸长或缩短为原来的倍 sinyxA 纵坐标伸长或缩短为原来的倍sinyAx法 2：将 ysinx 的图像ysin(x) 1 横坐标伸长或缩短为原来的倍| |0,x| |0,x

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