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1、选修4-2 矩阵与变换一、主干知识识1.矩阵阵的定义义:同一横(竖竖)排中按原来次序排列的一行(列)数叫做矩阵阵的行(列),组组成矩阵阵的每一个数都叫做矩阵阵的元素,其中,一条从左上角到右下角的元素构成的对对角线线称为为矩阵阵的主对对角线线.特别别:(1)21矩阵阵,22矩阵阵(二阶阶矩阵阵),23矩阵阵.(2)零矩阵阵:_.(3)行矩阵阵: _,列矩阵阵: _ ,一般用 等表示.a11,a122.几种常见的平面变换：(1)恒等变换矩阵(即单位矩阵)：_.(2)伸压变换矩阵：_.(3)反射变换矩阵：_.(4)旋转变换矩阵：_.(5)投影变换矩阵：_.(6)切变变换矩阵：_.3.逆矩阵阵:设设A
2、是一个二阶阶可逆矩阵阵,如果存在二阶阶矩阵阵B,使AB=BA=E,则则称二阶阶矩阵阵A是可逆矩阵阵,称B是二阶阶矩阵阵A的逆矩阵阵,记记作A-1.4.特征值和特征向量：A= 如果存在和非零向量 满足_，即 则叫A的一个特征值，叫A的属于特征值的一个特征向量. 二、重要公式和法则1.二阶行矩阵与平面向量的乘法：_2.二阶行矩阵的乘法:_3二阶可逆矩阵A= (adbc0)的逆矩阵是_.4设A= 是一个二阶矩阵，R,则A的特征多项式为：_.5.矩阵M的n次变换对于二阶矩阵M，它的特征值分别为1和2，其对应的特征向量分别为 和 (两者不共线)，则当任一向量时， _.1(2012江苏高考)已知矩阵A的逆
3、矩阵A1=求矩阵A的特征值【解析】因A1= 故A=(A1)1=因矩阵A的特征多项式为f()=234，令f()=0，解得矩阵A的特征值1=1，2=4.2(2012福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.(1)求实数a，b的值.(2)求A2的逆矩阵.【解析】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x,y)，由 得因点P(x,y)在曲线x2+y2=1上，故(ax)2+(bx+y)2=1，化简得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1，从而比较对应项系数得：又因为a0，解之得(2)由(1)得A
4、=故A2=从而(A2)1=热点考向 1 二阶矩阵与平面向量、常见的平面变换 【典例1】(2013南京模拟)已知矩阵M对应的变换将点A(1，1)变为A(0，2)，将曲线C：xy1变为曲线C(1)求实数a，b的值.(2)求曲线C的方程【解题探究】由条件点A(1，1)变为A(0，2)，根据矩阵与平面向量的乘法法则得关于实数a，b的方程是_，从而求解，并得到坐标的变换公式是_，再代入曲线C的方程，即可得到曲线C的方程.【解析】(1)由题知，即(2)设P(x，y)是曲线C上任意一点，P由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到，所以解得因为x0y01，所以即曲线C的方程为【互动探究】根据本题
5、条件，能否判断矩阵M属于何种常见的平面变换？从本题结果观察，反比例函数 的图象，通过何种变换，可转化成双曲线的标准形式？【解析】因点A(1，1)在直线y=x上，此直线与坐标轴的夹角为45，当它变换到A(0，2)时，即变换到y轴上，故这是旋转变换，又因OA= OA=2，故还需实施伸压变换，即本题变换中含有两种常见的变换，即由从本题结果观察，反比例函数 的图象，通过旋转变换(旋转角为45)，可转化成双曲线的标准形式.【方法总结】曲线变换问题的求解思路有关曲线的变换问题，都是通过变换矩阵左乘列向量，得到原曲线上的点坐标与新坐标之间的关系式，再用新坐标的函数式表示原坐标，而原坐标一定满足原方程，故代入
6、原方程，即可得到新的曲线方程.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，直线l:x+y+2=0在矩阵M= 对应的变换作用下得到直线m:xy4=0，求实数a,b的值.【解析】在直线l:x+y+2=0上取两点A(-2,0),B(0,-2),A,B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A,B，因为所以A的坐标为(2,2b)，所以B的坐标为(-2a,-8).由题意A,B在直线m:xy4=0上，所以解得a=2,b=3. 热点考向 2 矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵【典例2】(2013徐州模拟)已知a，bR，若矩阵M=所对应的变换把直线l：2xy=3变换为自身，求M1.【解题探究】根据矩阵M= 可得坐标变换公式是_
7、，再代入直线l的方程，得到关于a,b的方程组是_，从而得到矩阵M的表达式；再由逆矩阵计算公式求M1.【解析】对于直线l上任意一点(x,y)，在矩阵M对应的变换作用下变换成点(x,y)，则因为2xy=3，所以2(x+ay)(bx+3y)=3，所以所以M=所以M1=【方法总结】利用待定系数法求变换矩阵的两种方法(1)利用矩阵与平面向量的乘法法则，将变换前后的点(向量)的坐标一一对应，从而列得方程组而求解.(2)利用矩阵乘法法则，将两种或两种以上的变换复合成一种变换矩阵，再与已知矩阵相比较对应项数值，从而列得方程组求解.【变式训练】(2013江苏高考)已知矩阵A=B= 求矩阵A-1B.【解析】设矩阵
8、A的逆矩阵为则即故a=-1,b=0,c=0, d=从而A的逆矩阵为A-1=所以A-1B=热点考向 3 特征值与特征向量、矩阵的简单应用 【典例3】(2013南通模拟)已知矩阵M=不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值【解题探究】当矩阵的行列式值为零时，矩阵不存在逆矩阵，由此得x的值_，再由矩阵M的特征多项式_得此矩阵的特征值是_.x=5f()=0和11【解析】由题意，矩阵M的行列式解得x=5，矩阵M=的特征多项式f()= =(5)(6)(5)(6)，令f()=0并化简得211=0，解得=0或=11，所以矩阵M的特征值为0和11【互动探究】试求矩阵M的特征向量.【解析】当=0时，由知，特征向
9、量是(1，-1)；当=11时，由知，特征向量是(5，6).【方法总结】矩阵特征值与特征向量的关注点(1)矩阵特征值的实质是令特征多项式f()等于零时所构成方程的零点，是通过解一元二次方程得之的；特征向量是在求得特征值后，得到二元一次方程组(通常是不定方程)，取x=1或y=1或其他整数后得到.(2)矩阵特征值与特征向量可使矩阵经n次变换后的运算更为简便，结果相对准确，同时，蕴含着“有限与无限”的数学思想，确定变换后的变化趋势.【变式训练】给定矩阵A= B=(1)求A的特征值1,2及对应的特征向量 (2)求A4B.【解析】(1)设A的一个特征值为，由题意知：(2)(3)=0，1=2，2=3，当1=2时，由得A属于特征值2的特征向量当2=3时，由得A属于特征值3的特征向量(2)由于B=故
