《高数第二篇线性代数 第6章 参数估计4.25》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第二篇线性代数 第6章 参数估计4.25（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 当总体方差2已知时总体均值的区间估计对于给定的显著性水平，可以构造均值的置信区间为：1.总体均值区间估计的基本内容总体方差未知时总体均值的区间估计 对于给定的显著性水平，总体均值的置信区间为： 利用Excel计算总体均值置信区间例 某工厂想检验一批灯泡的质量，抽取10个样本对其耐用小时进行 检测，结果如下：1326 1336 1351 1365 1209 1343 1259 1365 1308 1349试以95%的置信度估计这批灯泡的平均耐用小时。 打开“第6章 参数估计.xls“工作薄，选择“耐用时数”工作表，如图 所示。选择单元格D1，在“插入”菜单中选择“函数”选项，打开“粘贴函数”对
2、话框如图所示。总体均值置信区间在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名”列表中选择计数函数COUNT。单击“确定”按钮，打开计数函数 对话框如图所示。总体均值置信区间在value1中输入数据范围。单击A列列头，或输入“A:A”，这相当于选择整个列，包括标题和所有的空单元格。单击“确定”按钮。单元格D1中会显示结果为10，即A列中数据的个数 在单元格D2中输入公式“=AVERAGE(A:A)”，计算A列的均值，显示值为1321.1。 在单元格D3中输入公式“=STDEV(A:A)”，计算A列的标准差，显示值为50.38397。总体均值置信区间在单元格D4中输入公式 “=D3/SQRT(D1)
3、”，计算标准误差，即标准差除以样本容量的平方根，D4中显示15.932.81。在单元格D5中输入置信度95%，注意加上百分号。在单元格D6中使用TINV (或NORMSINV)函数计算在95%置信度和自由度下的t值。总体均值置信区间选择单元格D6，在“插入”菜单中选择“函数”选项 ，打开“粘贴函数”对话框。在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名”列 表中选择TINV(或NORMSINV)函数。单击“确定” 按钮，打开TINV (或NORMSINV)函数对话框，如 图所示。总体均值置信区间总体均值置信区间n在“Probability”中输入“1D5”，所显示的值是0.05； 在“Deg_f
4、reedom”中输入自由度的表达式，即“D11” ，所显示值是9，单击“确定”按钮，单元格D6中显示值 为2.262159。在单元格D7中输入计算抽样极限误差t的公式，它 是t值和标准误差的乘积，公式为“=D6*D4”，显示 值为36.04255。在单元格D8和D9中输入计算置信区间上限和下限 的公式，下限为样本均值减抽样极限误差，上限为 样本均值加抽样极限误差。其公式分别为“=D2-D7” 和“=D2+D7”，显示值为1285.057和1357.143。这样，总体均值的95%的置信区间为：总体均值置信区间总体均值区间估计结果如图所示： 置信度越高，下限值越低，上限值越高，置信区间越宽；反之，
5、 置信度越低，置信区间越小。市场研究中使用区间估计 例 张先生是台湾某集团的企划部经理，在今年的规划中 ，集团准备在某地新建一家新的零售商店。张先生目前 正在做这方面的准备工作。其中有一项便是进行市场调 查。在众多信息中，经过该地行人数量是要考虑的一个 很重要的方面。张先生委托他人进行了两个星期的观察 ，得到每天经过该地人数如下：n544，468，399，759，526，212，256，456，553，259 ，469，366，197，178n在95%的置信度下，能否知道每天经过此地的人数吗？ 如果设立商店要求行人数最低为520人的话，如何作出 决策操作步骤如下：打开“第6章 参数估计.xls
6、“工作薄，选择“均值” 工作表。 选择单元格A1：A11，即“灯泡平均耐用小时” 数据，拖动鼠标将其移到将G列。 在单元格A1中输入“行人数”，从单元格A2起输 入例题的调查数据。当数据输入完毕后，结果如下页图所示。 从图中可以看出，在95%的置信度下，行人数位于306人500 人之间。这个结论意味着如要观察100天，则有95天的行人数 位于这一区间内。如果设立商店要求行人数最低为520的话，显然在这一地点设 立商店是不明智的。2.样本比例的抽样分布 样本比例分布直接来自于二项分布。根据中心极限定理，随着样本容量的增加， 二项分布渐近于正态分布。所以当样本容量较大时，一般来说，当n不小 于30
7、，np和nq都不小于5时，可以用正态分布 代替二项分布。比例抽样分布的均值为：式中：p 为总体比例。比例抽样分布的标准差或标准误差为：样本比例的抽样分布置信区间与抽样分布密切相关。如果已知总体比 例值，根据近似标准正态分布，确定围绕值的 置信区间将是：样本比例的抽样分布案例研究： 品牌认知度置信区间例 某食品厂准备上市一种新产品，并配合以相应的广 告宣传，企业想通过调查孩子们对其品牌的认知情况 来评估广告的效用，以制定下一步的市场推广计划。 他们在该地区随机抽取350个小孩，进行儿童消费者行 为与消费习惯调查，其中有一个问句是“你听说过这个 牌子吗？”，在350个孩子中，有112个小孩的回答是
8、“ 听说过”。根据这个问句，可以分析这一消费群体对该 品牌的认知情况。所以，食品厂市场部经理要求，根 据这些样本，给定95的置信度，估计该地区孩子认 知该品牌的比例。打开“第6章 参数估计.xls”工作簿，选择“比例估计”工作表如图所示 ：品牌认知度置信区间在单元格B2中输入n值为350。在单元格B3中键入公式“=112350”，用Excel来计算 抽样比例Pi值为0.32。在单元格B4中键入公式 “=SQRT(B3*(1-B3)/B2)” 计 算比例标准误差。其显示值为0.024934。在单元格E2中键入置信度0.95。品牌认知度置信区间选定E3单元格，输入公式“= (NORMSINV(0.
9、025)”或 “=NORMSINV(E2+(1-E2)/2)”，便可确定Z值，单元格 E3中将显示1.959961。 在E4单元格中输入公式“=E3*B4”，计算极限误差，其 结果显示为0.04887。 在单元格E5中输入“=B3-E4”计算估计下限，在E6单元 格中输入“=B3+E4”计算估计上限。结果分别显示为0.27113和0.36887。 品牌认知度置信区间 问题的答案是孩子们认知新品牌的比例在0.27113 到0.36887之间的置信度是95%。 品牌认知度位于27%37%之间，这对于食品消费 来讲，并不是一个满意的数值，因而企业应当考虑 市场推广方面的问题，研究是否广告诉求对象不对
10、 ，还是目标市场有偏差。品牌认知度置信区间3.必要样本容量的计算公式样本量n的大小为：在其他条件不变的情况下，总体方差越大，必要样本容量 n便越大，必要样本容量与总体方差成正比；置信水平越大，必要样本容量便越大，二者成比；抽样极限误差越大，样本容量就越小，二者成反比。利用Excel计算必要样本单位数例 某快餐店想在置信度为96%的条件下估计午餐时 间每位顾客的平均支出，根据过去 经验，每个顾客平均支出的标准差不超过 5元，要抽取多少样本才能使其抽样极限 误差不超过2元呢?打开“第6章 参数估计.xls”工作簿，选择 “样本 容量”工作表，如图所示：利用Excel计算必要样本单位数利用Excel
11、计算必要样本单位数在单元格B1中输入极限误差2，在单元格B2中输入置信 度0.96(或96%)。 在单元格B4中输入标准差5。单元格B3中需要输入与 B2中置信度相对应的Z值。使用NORNSINV函数，可 以把左侧概率转换成Z值。在单元格B3中输入公式“=NORMSINV(B2)”，计算与B2的置信度相应的左侧Z值。显示对应于96%的置信度的Z值为1.750686。在B5单元格中根据上面样本容量的计算公式，输入公式“=(B32*B42)/B12” 计算样本容量，显示值为19.15564。在B6单元格输入“=CEILING(B5,2)”，显示值为20。利用Excel计算必要样本单位数计算结果如图
12、所示：4.总体比例的必要样本容量对于比例估计来讲，其必要样本容量的 计算公式如下： 例 联想集团希望了解购买“天禧”品牌计算机的 消费者满意比例，集团确信“天禧”品牌计算机 满意比例不会小于70%。如果集团想使抽样极 限误差在2%，置信度为99%，则需要多大的 样本？必要样本容量打开“第6章 参数估计.xls”工作簿，选择“比例样本容量” 工作表。 在单元格B2中输入P值70%，在单元格B3中输入置信度 99%，在单元格B4中输入抽样误差2%。在单元格B5中输入计算Z值的公式“=NORMSINV(B3+(1- B3)/2)”或“=ABS(NORMSINV(0.005)”，B5单元格中的 计算结
13、果显示为2.575835。在单元格B6中输入公式“=(B2*(1-B2)*B52)/B42B6”， 计算必要样本容量，结果为3483.335。必要样本容量在单元格B7中输入公式“=CEILING(B6,4)” 用CELLING 函数求比n大的最小整数，单元格B6为所要求的整数， 4为整数的位数，显示的结果为3484。如图所示。必要样本容量抽样极限误差对样本容量有何影响呢?抽样误差越小估计就越精确，所以联想集团希望它越小越 好。把抽样极限误差由2%改为1%，样本容量跃增为 13934。可见，抽样误差减小一半，样本容量增大为原来的四倍。把P值由70%改为30%。注意到这对n值没影响把置信度由99%改为90%，这样样本容量减少为 5682。 必要样本容量
