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1、9.9 曲线与方程 基础知识 自主学习要点梳理1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是 .（2）以这个方程的解为坐标的点都是 .那么这个方程叫做 ，这条曲线叫做.这个方程的解曲线上的点曲线的方程 方程的曲线2.求动点的轨迹方程的一般步骤（1）建系建立适当的坐标系.（2）设点设轨迹上的任一点P（x，y）.（3）列式列出动点P所满足的关系式.（4）代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.（5）证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点（1）由曲线
2、方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 ，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组 ，两条曲线就没有交点.（2）两条曲线有交点的 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.公共解无解充要基础自测1.f（x0，y0）=0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系，f（x0，y0）=0可知点P（x0,y0）在曲线f（x,y）=0上，又P（
3、x0，y0）在曲线f（x，y）=0上时，有f（x0，y0）=0，f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上的充要条件.C2.方程x2+xy=x的曲线是 （ ）A.一个点 B.一条直线C.两条直线 D.一个点和一条直线解析 方程变为x（x+y-1）=0，x=0或x+y-1=0.故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.C3.已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x,y）满足 =x2-6，则点P的轨迹是 （ ）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析 =（-2-x，-y）， =（3-x，-y），则 =（-2-x）（3-x）+（-y）2=x2-6，化简得y2=x,轨迹为
4、抛物线.D4.已知定点P（x0，y0）不在直线l:f(x,y)=0上，则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条 （ ）A.过点P且垂直于l的直线B.过点P且平行于l的直线C.不过点P但垂直于l的直线D.不过点P但平行于l的直线解析 P（x0，y0）不在直线l上,f（x0，y0）0.方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的直线与l平行.又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0.点P（x0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的直线上，即直线过P点.B5.已知两定点A（-2，0），B（1，0）,如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 （ ）
5、A. B.4 C.8 D.9 解析 设P（x，y），则由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2,即（x-2）2+y2=4，故P点的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆.所围成的图形的面积等于 22=4 .B题型一 直接法求轨迹方程【例1】如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.设M（x，y），则A、B两点坐标可用x,y表示，再利用 =0,建立等式即可.思维启迪题型分类 深度剖析解 设点M的坐标为（x,y）,M是线段AB的中点，A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. =（2x-2
6、，-4）， =（-2，2y-4）.由已知 =0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.探究提高 （1）本题中的等量关系还有kPAkPB=-1，|AB|=2|PM|.但利用kPAkPB=-1时，应分直线l1斜率存在和不存在两种情况,应用|AB|=2|PM|时，运算较繁.（2）求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上.知能迁移1 已知动点M到定点A(1,0)与定直线l:x=3的距离之和等于4,求动点M的轨迹方程.解 如图所示,设M（x,y）是轨迹上任意一点,作MNl于N.则|MA|+|MN|=4，即
7、=4-|x-3|.当3x4时， =7-x.即y2=-12(x-4) (3x4).当0x3时， =x+1,即y2=4x (0x3).M的轨迹方程是y2=-12(x-4) (3x4)和y2=4x(0x3).题型二 利用定义法求轨迹方程【例2】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线.利用两圆的位置关系相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种曲线的定义.思维启迪解 方法一 如图所示，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y
8、2=4,(x-3)2+y2=100,当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2. 当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10-R. 将两式相加，得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|，动圆圆心M（x,y）到点O1（-3,0）和O2（3,0）的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1（-3,0）、O2（3,0）,长轴长等于12的椭圆.2c=6，2a=12，c=3，a=6，b2=36-9=27，圆心轨迹方程为 轨迹为椭圆.方法二 由方法一可得方程移项再两边分别平方得：两边再平方得3x2+4y2-108=0，整理得所以,动圆圆心的轨迹方程是 轨迹是椭圆.探究提高 在利用圆锥曲线定义求轨迹时
9、，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程.知能迁移2 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲
10、线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为 (x-1).题型三 相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】（12分）已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.连结QP交AB于R,则R是矩形APBQ的中心.因而可选R的坐标为中间变量，先求R的轨迹方程,再将Q的坐标代入R的坐标中即可.思维启迪解 如图所示，设AB的中点为R,坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y）， 2分则在RtABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦A
11、B的中点，依垂径定理有RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x +y ）.又|AR|=|PR|=所以有（x1-4）2+y =36-（x +y ）.即x +y -4x1-10=0. 8分4分因为R为PQ的中点，所以x1 10分代入方程x +y -4x1-10=0，得整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程. 12分探究提高 相关点法也叫坐标转移（代入）法，是求轨迹方程常用的方法.其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关,且点B的运动有规律（有方程），只需将A的坐标转移到B的坐标中,整理即可得A的轨迹方程.知能迁移3 已知长为1+ 的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴
12、上滑动,P是AB上一点,且 = .求点P的轨迹C的方程.解 设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y）， 又 =（x-x0，y）， =（-x，y0-y），所以x-x0=- ，y= （y0-y）得x0= ，y0=（1+ ）y.因为|AB|=1+ ，即x +y =（1+ ）2，化简得点P的轨迹方程为方法与技巧1.弦长公式:直线y=kx+b与二次曲线C交于P1（x1,y1）与P2(x2,y2)得到的弦长为思想方法 感悟提高2.求轨迹的方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量（如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线
13、的轨迹方程.（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是否满足圆锥曲线的定义.定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同处在于：此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型，再利用待定系数法求轨迹方程.（3）代入法（相关点法）：当所求动点M是随着另一动点P（称之为相关点）而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关
14、点法或坐标代换法.失误与防范1.求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程.2.求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点的坐标为（x,y）,然后求x与y的关系.3.在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该分为两个方面：一是用定义法,（从已知曲线类型、或从距离关系中）能判断到曲线类型时,再用待定系数法求曲线方程；二是,当未知曲线类型时用其它四种方法求曲线方程.4.仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的求轨迹方法,哪些类型、哪些已知条件适合哪一种方法，要融会贯通，不可乱用方法！一、选择题1.（2008北京理
15、,4）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（ ）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析 由题意可知,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,根据抛物线定义知,点P的轨迹为抛物线.定时检测D2.方程（x-y）2+(xy-1)2=0的曲线是 （ ）A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对解析 （x-y）2+(xy-1)2=0C3.已知定点A（1，1）和直线l:x+y-2=0，那么到定点A的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为（ ）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线解析 由于点A在直线x+y-2=0上.因此选D.D4.已知点A（-
