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1、第二节 空间几何体的表面积与体积【最新考纲最新考纲】 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1多面体的表多面体的表(侧侧)面积面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.空间几何体的表面积与体积公式空间几何体的表面积与体积公式1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误
2、的打，错误的打“”“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积锥体的体积等于底面面积与高之积( )(2)球的体积之比等于半径比的平方球的体积之比等于半径比的平方 ( )(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )(4)已知球已知球O的半径的半径 R，其内接正方体的边长为，其内接正方体的边长为a，则，则Ra.( )32答案：答案：(1) (2) (3) (4)2已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展，且它的侧面展 开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( )A. B. C. D.a23a32 3a32
3、 3a3解析：解析：设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为r，母线长为母线长为l，由题意知由题意知2rl，l2r，则圆锥的表面积则圆锥的表面积S表表r22r2a，r2，直径直径2r.a32 3a3答案：答案：C3(2015新课标全国新课标全国卷卷)九章算术九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？米几何？”其意思为：其意思为：“在屋内墙角处堆放米在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之如图，米堆为一个圆锥的四分之一一)，米堆底
4、部的弧长为，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？少？”已知已知1斛米的体积约为斛米的体积约为1.62立方尺，圆立方尺，圆 周率约为周率约为3，估算出堆放的米约有，估算出堆放的米约有( )A14斛斛 B22斛斛 C36斛斛 D66斛斛解析：解析：设米堆的底面半径为设米堆的底面半径为r尺尺，则则 r8，所以所以r.216所以米堆的体积为所以米堆的体积为V r255(立方尺立方尺)141312(16)23209故堆放的米约有故堆放的米约有1.6222(斛斛)3209答案：答案：B4已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球
5、的体积为已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方，则正方92体的棱长为体的棱长为_解析：解析：设球的半径为设球的半径为R，则则 R3.R ，439232又又2Ra，得得a.33答案：答案：35(2016邯郸质检邯郸质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：解析：由三视图知该几何体为直四棱柱由三视图知该几何体为直四棱柱，其底其底 面为等腰梯形面为等腰梯形，上底长为上底长为2，下底长为下底长为8，高为，高为4，故面积为故面积为S20.来源来源:学科网学科网ZXXK（28） 42又棱柱的高为又棱柱的高为10，所以体积所以体积
6、VSh2010200.答案：答案：200一种思想一种思想转化与化归思想转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般是将侧面展开化为平面图形，计算旋转体的侧面积时，一般是将侧面展开化为平面图形，“化曲为直化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法两种方法两种方法割补法与等积法割补法与等积法1割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式式 的几何体进行解决的几何体进行解决2等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是
7、几何图形等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体或几何体)的面积的面积(或体积或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥或三棱锥)的高，而通的高，而通 过直接计算得到高的数过直接计算得到高的数值值两个注意点两个注意点求空间几何体的表面积应注意两点求空间几何体的表面积应注意两点1求组合体的表面积时，要注意各几何体
8、重叠部分的处理求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理2底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错，以防出错A级级 基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1(2014课标全国课标全国卷卷)正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为的底面边长为2，侧棱长为，侧棱长为，D为为BC中点，则三棱锥中点，则三棱锥AB1DC1的体积为的体积为( )3A3 B. C1 D.3232解析：解析：因为因为B1C1BD，所以所以BD平面平面AB1C1，点点B和和D到面到面AB1C1的距离相等的距离相等所以所以VA
9、B1DC1VDAB1C1VBAB1C1VC1ABB1 2(13123)21.答案：答案：C2(2014湖北卷湖北卷)算数书算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖囷盖”的术：的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长底面周长L与高与高h，计算其体积，计算其体积V的近似公式的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公它实际上是将圆锥体积公13
10、6式中的圆周率式中的圆周率近似取为近似取为3.那么，近似公式那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的相当于将圆锥体积公式中的275近似取为近似取为( )A. B. C. D.22725815750355113解析：解析：设圆锥的底面圆半径为设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面圆周长则圆锥的底面圆周长L2r，所以圆锥所以圆锥底面圆的半径底面圆的半径r，则圆锥的体积为则圆锥的体积为V Sh r2h hL2h.L2131313L242112又又VL2h，所以所以L2hL2h，解得解得.275112275258答案：答案：B3某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是某几何体的三视图如图所示，
11、且该几何体的体积是3，则正视图中的，则正视图中的x的的值是值是( )A2 B. C. D39232解析：解析：由三视图知由三视图知，该几何体是四棱锥该几何体是四棱锥，底面是直角梯形底面是直角梯形，且且S底底 (12)1223.V x33，解得解得x3.13答案：答案：D4正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为，底面边长为2，则，则该球的表面积为该球的表面积为( )A. B16 C9 D.814274解析：解析：如图如图，设球心为设球心为O，半径为半径为r，则在则在RtAOF中中，(4r)2()2r22，解得解得r .94该球的表面
12、积为该球的表面积为4r24 .(94)2814答案：答案：A5(2016石家庄调研石家庄调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B C. D22343解析：解析：由三视图知由三视图知，该几何体是一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的两个半该几何体是一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的两个半球球所以几何体的体积所以几何体的体积VV柱柱2V半球半球2122 13 .124323答案：答案：A6(2015北京卷北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A2 B455C22 D55解析：
13、解析：作出三棱锥的示意图如图作出三棱锥的示意图如图，在在ABC中中，作作AB边上的高边上的高CD，连接连接SD.在三棱锥在三棱锥SABC中中，SC底面底面ABC，SC1，底面三角形底面三角形ABC是等腰三角是等腰三角形形，ACBC，AB边上边上 的高的高CD2，ADBD1，斜高斜高SD，ACBC5.5S表表SABCSSACSSBCSSAB 222( 1) 21212512522.5答案：答案：C二、填空题二、填空题7(2015江苏卷江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为、高为4的圆锥和底面半径的圆锥和底面半径为为2，高为，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体
14、积与高均保持不变，但底的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析：解析：设新的底面半径为设新的底面半径为r，由题意得由题意得524228 r24r28，1313r27，r.7答案：答案：78(2015天津卷天津卷)几何体的三视图如图所示几何体的三视图如图所示(单位：单位：m)，则该几何体的体积，则该几何体的体积是是_m3.解析：解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中其中圆锥的底面半径和高均为圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为圆柱的底面半径为1且其高为且其高为2.几何体的体积几何体的体积V 1212122
