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1、1用 Newton 迭代法解方程的根，讨论迭代法的收 32340fxxx2x 敛阶，设计修正的方法提高迭代法的收敛阶；并对初值迭代二步，01.5x 结果保留 3 位小数。解：解： 设 32( )34f xxx2( )36fxxx( )66fxx(2)0,(2)0,(2)0fff所以是的二重根，故 Newton 迭代在附近是线性收敛；2( )0f x 2构造修正的 Newton 迭代：32122 ()2(34) ()36nnn nnn nf xxxxxxfxxx224 3nnnxx x2 00 1 02437/183xxxx2 11 2 1243997/19982.0013xxxx2给定线性方程
2、组，其中Axb，242 492 227 A8 20 1 b（1）利用 Doolittle（杜利特尔）三角分解求解此线性方程组；（2）使用乘幂法计算矩阵的特征值和对应的特征向量。 （初值取A。只需计算前三次迭代，给出计算过程和结果，计算结果保留四(0)T(1,0,0)v位小数。 ）解：解：（1）由 Doolittle 三角分解，其中为单位下三角阵，为上三角AL ULU阵，得111213111213212223212223313233313233100100100aaauuuaaaluuaaallu 即242100242492210012227121001 原方程变为，解得。LybUxy 8,4,
3、1,1,2,1TTyx（2）0 00 0(1,0,0) ,1,0,0max()TTvvuv1，102,4, 2TvAu1 1 10.5,1, 0.5max( )Tvuv4，216,12, 6.5TvAu2 2 20.5,1, 0.5417max()Tvuv12， 326.0834,12.0834, 6.7919TvAu3 3 30.5035,1, 0.5621max()Tvuv12.08343已知是上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定( )s x0,232312( )2(1)(1)(1)xxs xb xc xd x01 12x x 中的参数，和。bcd解：解：记，3 123 2( )12
4、( )2(1)(1)(1)s xxxsxb xc xd x 由三次样条和自然边界条件的定义，有121212(1 0)(1 0), (1 0) (1 0), (1 0) (1 0)ssssss12 (0)0, (2)0ss解得，。1,3,1bcd 4确定两点求积公式系数,使求积公式201-222( )()()33f x dxA fA f 01,A A有尽可能高的代数精度。是否是 Gauss 型的？并用此公式计算积分,2 0sin xdx (结果保留四位小数)解：解： 令求积公式准确成立，有：( )1,f xx0101422()()033AAAA得： 012AA求积公式： 2222( )2 ()2
5、 ()33f x dxff 令 求积公式准确成立的，求积公式不是准确成立的，23( ),f xxx4( )f xx求积公式代数精度为 3，是 Gauss 型的；作变换(2), 2,28xtt 222 022sinsin(2)sin(2)2228888 222sin(2)2sin(2)88833 0.9985xdxtdttdt5已知函数满足数表：( )f xix-102 ifx10161）试求在上的 Hermite 插值多项式,使之满足下列条件：( )f x-1, 2( )H x，( )( ),0,1,2iiH xf xi1( )0H x2）设，证明余项，(4)( )0,2fxC(4) 2( )
6、( )( )( )(1)(2)4!fR xf xH xxxx(-1,2)解：解：(1)设,由23 0123( )H xaa xa xa x0123001231( 1)1(0)0(2)24816(0)0HaaaaHaHaaaaHa得23( )23H xxx（2）设余项，为待求函数。2( )( )( )( )(1)(2)R xf xH xk x xxx( )k x构造，则2(2( )( )( )( )(1)tf tH tktx tt( 1)0, (0)0, (2)0, (0)0, ( )0x故有 5 个零点，至少有一个零点：( ) t(4)( ) t(4)(4)( )4! ( )(0)kfx所以，
7、余项表达式为(4) 4!()k xf(4) 2( )( )( )( )(1)(2)4!fR xf xH xxxx6利用逆 Broyden 迭代法，解方程组，取初值迭22 12 22 124010xxxx 01.6,1.2x 代二步，结果保留 3 位小数。 逆 Broyden 秩 1 方法：11()( )()( )iii iiT iii iiiiTi iy xxH F xrHHHrH yrH解：解：记，则22 12 22 124( )1xxF xxx121222( )22xxF xxx，01.6,1.2x 01 00.156250.156250.2083330.208333HF x0012112
8、11.58125,1.2250.000976562, 0.120273 0.01875,0.0250.1543450.1543450.2064280.2102381.58114,1.22474 0.000977866,0.000291477 0.000108524, 0.0002590770.1501450.150xyrHxyrH 1450.2022280.214438 7求数据的最小二乘拟合多项式 1,2 , 0,1 , 1,2 , 2,4 2 01xaa x解：解：法方程为0146961820aa得。017/613/18aa8应用差分方法：11234nnhyyKK121(,)2(+,)33
9、nnnnKf xyhKf xyhK解初值问题时，讨论步长应取何值方能保证方法的绝对稳定性？0-(0)yyyy 解：解：应用差分格式为：，122 1( 12/3 )(1/ 2)nnnnKyKh yyhhy 需要满足h2|/ 2| 11 hh所以02.h9给定线性多步法：111412 333nnnnyyyhy（1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数； （2）分析该格式的收敛性； （3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。（在局部截断误差中）10111 ()() ,2,3,!pp rr rii iiCi aribrrL（参考定理：设和是实系数二次方程的根，则1x2x20xbxc的充要条件是
10、。）121,1xx1,1bc c 解：解：011412,0,333aab （1） 把局部截断误差在处 Taylor 展开：nTnx( ) 01()()()rr nnnrnTc y xc hy xc h yxLL0120ccc3209c 33 (3)(3) 122()(),(,)99nnnnnnhhTyxyxx L（2），方法是相容的；010cc第一特征多项式：，两根为：241( )33rrr0111,3rr方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。(3)稳定多项式：，2241( ; )(1)333r hh rr由绝对稳定性要求知 故0,h 2103h由参考定理知：的两根( ; )0r
11、 h0,1( )1rh 41 331221133 1 31213hhh 0h 即方法是无条件绝对稳定的。1 对于位数有限的实数，给出一个不用除法运算求倒数的二阶收敛的0a 1 a迭代公式；分析迭代初值可以选取的范围；若，试求（迭代0x0.324a 1 a4 次，计算结果保留四位小数） 。解：解：（1）考虑方程，为此方程的根, ，1( )0f xax1 a21( )fxx 利用 Newton 法建立迭代公式1()(2)()k kkkk kf xxxxaxfx迭代函数。( )(2)xxax由有2 111(2)(1)kkkkaxaxaxax 2 01(1)kkaxax所以2 01(1 (1) )kk
12、xaxa当时，因此，即020xa0|1| 1ax2 0lim(1)0kkax 1limkkxa又因为所以格式是二阶收敛的。11( )0,( )0,aa（2）当，可取0.324a 002/6.17284xa05x 100211322433(2)1.9(2)2.6304(2)3.0190(2)3.0845xxaxxxaxxxaxxxax3利用反差商方法，求有理插值函数通过R x（）。3467(0, 2), (1,), (2,), (4,), (5,)251726解：解：构造反差商表如下x0v1v_2v 3v4v0213/2-224/5-5/3346/17-17/7-7-1/557/26-26/9-
13、9/2-2/5-5所以22( )21122314 55xxR xxx x x 4. 确定数值积分公式中的求积系数和求积10121( )d( ()()()f xxA f xf xf x A结点，使得该公式具有最高代数精度。利用该公式计算积分012,x x x的近似值。 （计算结果精确到四位小数） 。4241d1xx解：解：（1）由代数精度的定义，分别令使积分公式精确成立，23( )1, ,.f xxxx有012222 012013 23332()0()2/3()0AA xxxA xxxA xxx解得，。令，积分公式不成立，故代012211,0,322Axxx 4( )f xx数精度为 3。 （2）4241210121d1 14d1 16 4( ()( )()883.259327xxxx A f xf xf x 5利用共轭梯度法求解线性方程组，其中Axb，211 120 101 A0 1 0 b初值取，给出计算中间过程和结果。(0)T(1,0,0)x已知的计算过程为：给定，计算(0)x(0)(0)(0) 0,Arbxpr对计算0,1,k L( )( ) (1)( )(1)( )
