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1、 第 1 页 第 2 页 数学基础知识与典型例题数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线第八章圆锥曲线)椭圆知识关系网椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点 F1、F2的距离之和等于定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0b0)的两个焦点，P 是以22x a22y bF1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若PF1F2=5PF2F1,则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)3 26 32 22 3例例 6. 设 A(2, 3)，椭圆 3x24y2=
2、48 的右焦点是 F，点 P 在椭圆上移动，当|AP|2|PF|取最小值时 P 点的坐标是( )。第 3 页 第 4 页 (A)(0, 23) (B)(0, 23) (C)(23, 3) (D)(23, 3)椭圆例例 7. P 点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则 P 点的1204522 yx 21PFPF 坐标是 .例例 8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; . (2)焦点坐标为,并且经过点(2，1); .)0 , 3()0 , 3(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,且短轴是长轴的; _.)0 , 3()0 , 3(31(4)离心率为，经过点(2
3、，0); .23例例 9. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则12FF、2 214xyP的最大值是 12| |PFPF例例 10. 椭圆中心是坐标原点 O，焦点在 x 轴上，e=，过椭圆左焦点 F 的23直线交椭圆于 P、Q 两点，|PQ|=，且 OPOQ，求此椭圆的方程.920双曲线知识关系网 双 曲 线1.双曲线的定义： 第一定义第一定义：平面内到两个定点 F1、F2的距离之差的绝对值等于定值 2a(01)的点的轨迹是双曲线, 定点叫做双曲线的焦点,定直线 叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率.le标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形顶点(,
4、0)a(0,)a对称轴轴，轴，实轴长为，虚轴长为xy2a2b 焦点12(,0),( ,0)FcF c12(0,),(0, )Fc Fc焦距焦距为 122 (0),FFc c222cab离心率(e1)e c a 准线方程2axc 2ayc 点 P(x0,y0) 的焦半径 公式如需要用到焦半径就自己推导一下:如设是双曲线00(,)P xy上一点, (c,o)为右焦点,点到相应准线22221(0,0)xyababF右P的距离为, 则.2 :al xcdPFed右当在右支上时, ;P20adxc200()aPFe xexac右当在左支上时, P20adxc200()aPFexaexc右第 5 页 第
5、6 页 2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)即, 类似可推导0 0 0|()|xMFexax右0 0 0|()|xMFexax左双曲线例例 11.命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a0)；命 题乙： 点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( ) (A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不 必要条件例例 12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是（ ） (A)圆 (B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线双曲线例例 13. 过点(2，-2)且与双曲线1222 yx有相同渐近线的双曲线的方程是
6、( )(A)12422 yx(B)12422 xy(C)14222 yx(D)14222 xy例例 14. 如果双曲线的焦距为 6，两条准线间的距离为 4，那么双曲线的离心 率为（ ）（A） （B） （C） （D）223 23 26例例 15. 如果双曲线上一点到它的左焦点的距离是 8，那么点22 16436xyP到它的右准线的距离是( )P(A) (B) (C) (D)32 564 596 5128 5例例 16. 双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足2 21(1)xynn12,F F P,则的面积为( )1222PFPFn12FPFV( )1A1( )2B( )2C()4D例例 17. 设的
7、顶点，且，则第三个顶ABC)0 , 4(A)0 , 4(BCBAsin21sinsin点 C 的轨迹方程是_.例例 18. 连结双曲线12222 by ax与12222 ax by(a0，b0)的四个顶点的四边形面积为1S，连结四个焦点的四边形的面积为2S，则21 SS的最大值是_例例 19.根据下列条件，求双曲线方程:与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；22 1916xy32与双曲线有公共焦点，且过点(，2).22 1164xy3 2例例 20. 设双曲线上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）2 212yx 求直线 AB 方程； 如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点，
8、那么 A、B、C、D 是否共圆，为什么？抛物线知识关系网第 7 页 第 8 页 抛物线1.抛物线的定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 上).定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 叫做抛物线的准线.ll 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程22(0)ypx p22(0)ypx p 22(0)xpy p22(0)xpy p图形对称轴轴x轴x轴y轴y焦点(,0)2pF(,0)2pF (0,)2pF(0,)2pF顶点原点(0,0)准线 2px 2px 2py 2py 离心率1e 点 P(x0,y0) 的焦半径 公式用到焦半径自己推导
9、一下即可如:开口向右的抛物线上的点 P(x0,y0)的焦半径等于 x0+.2p注: 1.通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.2. (或)的参数方程为(或)( 为参数).22ypx22xpy22 2xpt ypt 222xptypt t例例 21. 顶点在原点，焦点是(0, 2)的抛物线方程是( )(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x (D)y2=8x例例 22. 抛物线上的一点到焦点的距离为 1，则点的纵坐标是( 24yxMM)(A) (B) (C) (D)017 1615 167 8 例例 23.过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有
10、( ) (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条抛物线例例 24. 过抛物线(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线2yax段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则等于( )11 pq(A)2a (B) (C) (D)1 2a4a4 a 例例 25. 若点 A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上 移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P 点的坐标为( )(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(，1) (D)(0，0)21例例 26. 动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是 .例例
11、 27. 过抛物线 y22px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的 纵坐标为 y1、y2，则 y1y2_.例例 28. 以抛物线xy23 的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_.例例 29. 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的倾斜角的范 围是 .例例 30 设0p 是一常数，过点的直线与抛物线22ypx交于相异两点(2 ,0)pQA、B，以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心） 。()试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上；()求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.轨迹问题上一章已经复习过解析几何的基本问题之一： 如何求曲线(点的轨迹)方程
12、,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类一是已知轨迹类 型求其方程型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未二是未 知轨迹类型知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常 设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。 因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等 量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，第 9 页 第 10 页 重视图形几何性质的运用。 求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限） 、代、化.轨迹方程例例 31. 已知两点 M（2，0） ，N（2，0） ，点 P 满足=12，则点 P 的PM PNuuu u r uuu r轨迹方程为（ ）2 2( )116xAy22( )16B xy22( )8C yx22()8D xy例例 32.O1与O2的半径分别为 1 和 2，|O1O2|=4，动圆与O1内切而与O2外切，则动圆圆心轨迹是( )(A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线 (D)双曲线的一支例例 33. 动点 P 在抛物线 y2=-6x 上运动,定点 A(0,1),
