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1、毕毕 业业 论论 文（设计）文（设计） 论文（设计）题目论文（设计）题目：关于几类不定积分求解方法的探讨关于几类不定积分求解方法的探讨 系系 别：别： 数学系数学系 专专 业：业： 数学与应用数学数学与应用数学 学学 号：号： 20081042232008104223 姓姓 名：名： 庞娟庞娟 指导教师：指导教师： 黄妙黄妙 时时 间：间： 20122012 年年 5 5 月月 河河 池池 学学 院院毕毕 业业 论论 文（设文（设 计）计） 开开 题题 报报 告告系别: 数学系 专业:数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（设计）题目关于几类不定积分求解方法的探讨命题来源教师命
2、题 学生自主命题 教师课题选题意义(不少于 300 字)：不定积分是求导问题的逆运算, 而定积分的计算主要依赖于莱布尼兹公式, 而使用莱布尼兹公式的前提是求被积函数的任一原函数.由此可见, 不定积分是联系微分学和定积分的一条纽带，不定积分的计算是微积分中的重要一环.因此，探讨不定积分的求解方法是很有意义的.不定积分在理论上十分简明,但利用基本积分公式及性质,只能求出一些简单的积分,对于比较复杂的积分,在运算上则有一定难度.正确选用不定积分的方法取决于对被积函数的分析, 从被积函数的特点出发,由易到难进行剖析,着眼点不同就有不同的方法.由此可见,在求不定积分时,要想灵活运用基本方法得到解法,必须
3、抓住被积函数的特点,进行多角度、多方位的剖析,对各类不同函数进行归纳总结,经过多次这样的尝试与探索才能丰富解题经验,产生解题意识,从而提高求不定积分的解题能力.研究综述(前人的研究现状及进展情况，不少于 600 字):恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里 ”微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力而不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的
4、基础，因此人们对不定积分求解方法的研究已有一定的成果，并且还将不断的研究下去目前人们常用的四种基本不定积分求解方法是：直接积分法、第一类换元积分法（也称凑微分法） 、第二类换元积分法和分部积分法此外还有特殊类型函数的积分：有理分式函数的积分、简单无理函数的积分（化无理为有理） 但是，由于不定积分计算方法多种多样且技巧性强、题目多、题型复杂，有时候教师采用机械的方法教授，不能展现其作为生动智力斗争的成果所具有的魅力，学生学习时，也往往陷入单纯寻求技巧来计算不定积分费时多效果差见到生题又无从下手因此，牢固掌握不定积分的理论和运算方法是非常重要的，这不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也
5、将为学习定积分，微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础研究的目标和主要内容（不少于 400 字）一研究的目标探讨不定积分的简易求解方法，在熟记基本公式、性质及常用微分关系式的基础上，注意分析被积函数的特点，进行分类归纳，从而找出规律性的方法和技巧。同时，遇到具体问题要仔细分析，选择一个合适而简单的方法，达到灵活运用、熟练掌握不定积分的计算方法与技巧的目标。二主要内容1、在分部积分中的应用axe2、关于形如的解法22cossin(0)cossinmxnxdx abaxbx3、的递推公式222()nnmxIdxab x1(1,)2nnmm为自然数，拟采用的研究方法文献法 、网络搜索法 、探
6、究分析、归纳总结、教师指导法研究工作的进度安排2012 年 1 月至 2012 年 2 月，阅读相关方向文献资料，与指导教师商定题目.2012 年 3 月，大量阅读与所撰写内容相关的参考资料，拟定论文（设计）详细写作提纲，填写河池学院毕业论文（设计）开题报告 ，交指导教师审核批准.2012 年 4 月到 5 月上旬，撰写论文初稿，及时与指导老师联系，汇报写作进展，遇到难以解决的问题应及时向指导老师请教，完成初稿，交指导教师审阅.2012 年 5 月中旬 接受指导教师整改意见，反复修改，最后定稿.2012 年 5 月下旬至 6 月上旬 准备论文答辩，答辩结束后，把论文和各种表格装订成册交数学系办
7、公室归档.参考文献目录（作者、书名或论文题目、出版社或刊号、出版年月日或出版期号）1 华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.3 版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一类不定积分的计算及应用J.山东师大学报（自然科学版） ，2001,16（3）:317-318.3 萧胜中.浅谈不定积分的求解方法J.广东民族学院学报（自然科学版） ，1998（4）:92-95.4 高丽，齐琼，谢瑞.关于三类特殊不定积分求解方法的讨论J.西南民族大学学报 自然科学版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，刘展.一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广J.平顶山学院学报，2009,24（5
8、）：68-70.6 陈庆轩.介绍一类不定积分的解法J.重庆交通学院学报，1986,（3）:184-194.7 展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解J.高等数学研究，2005，8（6）：20-24.指导教师意见该生的选题拟采查阅资料、归纳分析的方法，探讨几类不定积分的求解方法，归纳总结出几种简便方法以求相应类型的不定积分，选题有意义，符合专业研究目标，有一定的创新性，并且难度适中，对工作量的要求合理，估计能够完成既定目标，同意开题.签名： 2012 年 月 日教研室主任意见同意指导教师的意见，同意开题.签名： 2012 年 月 日目目 录录摘要 1关键词1引言11 在分部积分中的应用 2axe1.
9、1 求 2( )ax nP x e dx1.2 求和 2sinaxebxdxcosaxebxdx2 关于形如的解 422cossin(0)cossinmxnxdx abaxbx2.1 求 4 22cossin(0)cossinmxnxdx abaxbx2.2 对的推广 4 22cossin(0)cossinmxnxdx abaxbx3 的递推公式 8 222()nnmxIdxab x参考文献 9Abstract11Key words11 图 11致谢 12 关于几类不定积分求解方法的探讨专业：数学与应用数学 庞继娟 指导教师：黄春妙摘 要不定积分是数学分析的一个重要内容，我们常用的求不定积分的
10、方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等. 不定积分在理论上十分简明，但利用基本积分公式及性质，只能求出一些简单的积分，对于比较复杂的积分，在运算上则有一定难度 有时，我们在计算中也发现有些不定积分不能用直接的方法来计算，这就要求我们在平时运算的过程中，多进行归纳总结及推广.针对我们在学习中遇到的困难，本文将介绍几种类型不定积分的求法.关键词 不定积分；分部积分；万能代换引言 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记作fIfI， f x dx其中称为积分号，为被积表达式，为积分变量 f x dxx不定积分的几何意义是：（1）若是的一个原函数，则称曲线( )F x( )f x为的一条积
11、分曲线( )yF x( )f x（2）函数的不定积分( )f x f x dxF xC表示的某一条积分曲线沿着纵轴方向任意的向图（1）( )f x上向下平行移动所得到的所有积分曲线组成的曲线簇（3）在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线是互相平行的1，如图（1） 河池学院 2012 届本科毕业论文（设计）2不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的方法是非常重要的.除课本提供的方法外，本文针对一些常见的函数不定积分的方法进行
12、归纳. 1 在分部积分中的应用axe在不定积分的分部积分法中，、1 01( )( )axnn nnnP x e dx P xa xa xaL和是两类典型的题目根据函数的导数与只差一个常数sinaxebxdxcosaxebxdxaxeaxe因子，以及多项式和三角函数、导数的特点，得出求解上述不定积分的Csinbxcosbx一种方法待定系数法1.1 求( )ax nP x e dx因为一个次多项式与的乘积的导数仍是一个次多项式与的乘积，所以，naxenaxe一个次多项式与的乘积的积分仍是一个次多项式与的乘积故令naxenaxe，其中两端求导可得：( )( )axax nnP x e dxQ x e
13、C1 01( )nn nnQ xb xb xbL，即：比较等式两端的系数得 ( )( )( )axaxax nnnP x eaQ x eQx e( )( )( )nnnP xaQ xQx，00aba1(1)(1,2, )iiiabniba in K由此方程组可得的系数，即可求得的不定积分2.( )nQ xib0,1,2, )inK（( )ax nP x e dx例 1求322(248)xxxe dx解 令，则322322 0123(248)()xxxxe dxb xb xb xb eC；，022b 10234bb21220bb3228bb解得 ；01b 11 2b 21 2b 317 4b 所以 3223221117(248)()224xxxxe dxxxxeC由此可见，用待定系数法解此类题要比用部分积分法解简单.1.2 求和sinaxebxdxcosaxebxdx河池学院 2012 届本科毕业论文（设计）3因为与的导数仍是这两类函数的线性组合，所以，它们的积分sinaxebxcosaxebx也应是这两类函数的线性组合故设 两边sin( sincos)axaxebxdxAb
