高中数学 1-1-3任意角三角函数

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1、千溪中学问题学导型课堂学习工具单九年级（下）数学九年级（下）数学北师大版北师大版九年级数学组开发我积极，我主动，我参与，我体验，我收获，我快乐，我成功！第 1 页共 7 页 MOP(a,b)Yx A(1,0)OP(x,y)Yx拓展：拓展：任意角的三角函数一复习一复习思考 1：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？结论：在 RtABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦，余弦，正切依次为：,abasinAcosAtanAccb锐角三角函数就是以锐角

2、为自变量，以比值为函数值的函数锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数思考 2:角推广后，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终Ox边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的( , )P a b220rabPxMOM长度为,线段的长度为.则;aMPbsinMPb OPrcosOMa OPrtanMPb OMa；ba MPOMcotar OMOPsec* （正割）br PMOPcsc)* （余割思考 3：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变

3、呢？为什么?P 根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点 P 在的终边上的位置的改变而改变大小.我们可以将点 P 取在使线段的长的特殊位置上，这样就OP1r 可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .sinMPbOPcosOMaOPtanMPb OMa单位圆单位圆: :在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的O 圆称为单位圆.2 2、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:( ,

4、 )P x y(1)叫做的正弦(sine),记做,即；ysinyrysin（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；xcosxrxcos（3）叫做的正切(tangent),记做,即.yxtantan(0)yxx1 A(1,0)MOP(a,b)Yx千溪中学问题学导型课堂学习工具单九年级（下）数学九年级（下）数学北师大版北师大版九年级数学组开发我积极，我主动，我参与，我体验，我收获，我快乐，我成功！第 2 页共 7 页5 3A(1,0)OBYx*（4）；；)0cotyyx（xrsecyrcsc思考思考 3:3:在上述三角函数定义中在上述三角函数定义中, ,自变量是什么自变量是什么

5、? ?对应关系有什么特点对应关系有什么特点, ,函数值是什么函数值是什么? ?说明:(1):(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以()2kkZyx0无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数.tany x(2)(2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.( , )P x y(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数三角函数.三、利用定义求角的三角函数值例 1.

6、.求的正弦,余弦和正切值.5 3解：在直角坐标系中，作, 5 3AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以AOB13( ,)2253515sin,cos,tan332323 四、三角函数在各象限的符号：（一全正二正弦，三正切四余弦）、、、、、、、、、-+-+、、、、、oooxyxyxy(二二)同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系与诱导公式 1、同角三角函数的基本关系式:六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余 1 中间”；记忆方法“对角线上两个函数的积为 1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数

8、获，我快乐，我成功！第 3 页共 7 页2、诱导公式函数 x（正弦）sin x（余弦）cosx（正切）tan x（余切）cot xsincostancot2cossinmcotmtanmsinmcostancot3 2cossincotmtanm2sincostanmcot注意：（注意：（1）诱导公式可概括为）诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。的各三角函数值的化简公式。2k（2）记忆规律：）记忆规律：奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限。其中的奇、偶是指符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍的奇数倍和偶数倍,变与不变与不2变是指函数名称的变化变是指函数名称的变化,若是奇数倍若是奇

9、数倍,则函数名称变为相应的余名函数则函数名称变为相应的余名函数,若是偶数倍若是偶数倍,则函数名称则函数名称不变；符号看象限是指把不变；符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过程中注意两点：一是函数名称是否改变程中注意两点：一是函数名称是否改变,二是正负号的确定原则。二是正负号的确定原则。3、两角和与差的三角函数公式：、两角和与差的三角函数公式：,sin()sincoscossin,cos()coscossinsinm。tantantan()1tantanm4、二倍角公式和半角公式、二倍角公式和半角公式二

10、倍角公式二倍角公式半角公式半角公式cossin22sin2cos1 2sin2222sin211cos2sincos2cos2cos1 2cos千溪中学问题学导型课堂学习工具单九年级（下）数学九年级（下）数学北师大版北师大版九年级数学组开发我积极，我主动，我参与，我体验，我收获，我快乐，我成功！第 4 页共 7 页2tan1tan22tan4、万能公式、万能公式2tan12tan2 sin 2 2tan12tan1 cos 22 2tan12tan2 tan 2 二倍角公式与万能公式二倍角公式与万能公式；22tansin 22sincos1tan；2 2222 21 tancos2

11、cossin2cos1 1 2sin1 tan 22tantan 21tan 5、积化和差公式：、积化和差公式：sincos1cos1sincos1cos12tancoscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin千溪中学问题学导型课堂学习工具单九年级（下）数学九年级（下）数学北师大版北师大版九年级数学组开发我积极，我主动，我参与，我体验，我收获，我快乐，我成功！第 5 页共 7 页5、和差化积公式：、和差化积公式：注意：熟悉以下公式变形注意：熟悉以下公式变形(1) tantantan1tantan(2) 221cos21

12、cos2sin;cos22（3） 221cos2cos,1cos2sin22（4）2 1sinsincos22(5)sinsincoscossinsin22sincos令 2222222coscoscossinsincos2cossin2cos1 1 2sintantan1+cos2tancos1tantan21 cos2sin2 2tantan21 tan令 mm（6）注意）注意“凑角凑角”运用：运用：,求值时求值时,特别注意角的范围及特别注意角的范围及2244符号。例如：已知符号。例如：已知则则3312sin,sin,45413 、，cos?4（7）辅助角公式的运用：）辅助角公式的运用：,

13、其中其中.如：如：22sincossinababtanb a等。等。sin3cos2sin, 3sincos2sin,36sincos2sin42cos 2sin2sinsin2cos2cos2coscos2sin 2cos2sinsin2sin2sin2coscos千溪中学问题学导型课堂学习工具单九年级（下）数学九年级（下）数学北师大版北师大版九年级数学组开发我积极，我主动，我参与，我体验，我收获，我快乐，我成功！第 6 页共 7 页（8）几种常用变换思想：）几种常用变换思想：变不同角为同角变不同角为同角变不同函数为同名函数变不同函数为同名函数见高次降幂见高次降幂( (五五) )解斜三角形：解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C=2A +2B 22C ，2A+2B2-C余弦定理a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosCcosA

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