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1、山西省山西省 20132013 届高考数学一轮单元复习测试：圆锥曲线与方程届高考数学一轮单元复习测试：圆锥曲线与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1直线 2xy30 关于直线xy20 对称的直线方程是( ) Ax2y30Bx2y30 Cx2y10Dx2y10 【答案】A2已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴， 直线AB交y轴于点P若2A
2、PPBuuu ruu u r ，则椭圆的离心率是（ ）A3 2B2 2C1 3D1 2【答案】D3设椭圆22221(0,0)xymnmn的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为1 2，则此椭圆的方程为( ）A22 11216xyB22 11612xyC22 14864xyD22 16448xy【答案】B4若双曲线)0( 12222 baby ax的左右焦点分别为1F、2F，线段21FF被抛物线21 2xyb的焦点分成3:2的两段，则此双曲线的离心率为( )A9 8B6 37 37C 5 3 3D5 21 21【答案】D 5已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上
3、，线段PF1 的中点5 坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( )Ay21 Bx21x2 4y2 4C1 D1x2 2y2 3x2 3y2 2 【答案】B6已知点 P 是抛物线28yx 上一点，设 P 到此抛物线准线的距离是1d，到直线100xy的距离是2d，则12dd的最小值是( )A3B2 3C6 2D 3【答案】C 7已知定点A(1,0)和定直线l：x1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足，(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为( ) Ay24xBy24x(x0) Cy24xDy24x(x0) 【答案】B8 直线L经过双曲线2221x ab2y （a0，b0）右焦点F与其一条渐近
4、线垂直且垂足为A，与另一条渐近线交于B点，AFuuu r 1 2FBuu u r ，则双曲线的离心率为（ ）A3 4B2 3 3C3D2【答案】B 9抛物线yx2 上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是( )A B4 37 5C D38 5 【答案】A10已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21 有公共的焦点，C2 的一条渐近线与x2 a2y2 b2y2 4 以C1 的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1 恰好将线段AB三等分，则( )Aa2 Ba213 13 2Cb2 Db221 2 【答案】C11已知点P(x，y)在直线x2y3 上移动，当 2x4y取得最小值时，过点P(x，y)
5、引圆2(x1 2)2 的切线，则此切线段的长度为( )(y1 4)1 2A B 623 2C D1 232 【答案】A12长为 3 的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，ACu uu uu u r r 2CBu uu u u u r r ，则点C的轨迹是( ) A线段B圆 C椭圆D双曲线 【答案】C第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知双曲线)0, 0( 12222 baby ax的离心率为332，焦距为 2c，且 2a2=3c，双曲线 上一点P满足为左右焦点）、2121(2FFPFPF
6、,则|21PFPF 【答案】414设F1，F2分别为椭圆y21 的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若1F Au uu uu ur r 52F Bu uu uu u u u r r ，则点A的x2 3坐标是_ 【答案】(0，1)15已知点(2,3)在双曲线C：1 (a0，b0)上，C的焦距为 4，则它的离心率为_x2 a2y2 b2 【答案】216已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为 4，且双曲线x2 a2y2 b2 的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为_ 【答案】25三、解答题三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答
7、应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知向量1mu r=（0，x） ，1nr =（1，1） ，2mu r=（x，0） ，2nr =（y2，1） （其中x，y是实数） ，又设向量mu r = 1mu r +22nr ，nr =2mu r 21nr ，且mu r nr ，点 P（x，y）的轨迹为曲线 C.(）求曲线 C 的方程；(）设直线1: kxyl与曲线C交于M、N两点，当|MN|=324时，求直线l的方程.【答案】 （I）由已知，m22(0, )( 2, 2),( 2,2),xyyxn( ,0)( 2,2)(2,2).xx/ ,Qmn22(2)(2)(2)0yxx即所求曲线的方程是：.
8、1222 yx(）由. 04)21 ( :. 1, 122222 kxxky kxyyx 得消去解得x1=0, x2=212,(214xxkk 分别为M，N的横坐标）.由,234|214|1|1|22 212kkkxxkMN. 1:k解得所以直线l的方程xy+1=0 或x+y1=0.18给定椭圆C：)0( 12222 baby ax，称圆心在原点O，半径为22ba 的圆是椭圆C的“准圆” 。若椭圆C的一个焦点为)0 ,2(F，其短轴上的一个端点到F的距离为3.(）求椭圆C的方程和其“准圆”方程.(）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线21,ll使得21,ll与椭圆C都只有一个交点
9、，且21,ll分别交其“准圆”于点NM,；(1）当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求21,ll的方程.(2）求证：MN为定值.【答案】 （）1, 3,2bacQ，椭圆方程为1322 yx准圆方程为422 yx。 (） （1）因为准圆422 yx与y轴正半轴的交点为)2 , 0(P，设过点)2 , 0(P且与椭圆有一个公共点的直线为2 kxy，所以由 13222 yxkxy消去y，得0912)31 (22kxxk.因为椭圆与2 kxy只有一个公共点，所以0)31 (9414422kk，解得1k。 所以21,ll方程为2, 2xyxy. (2）当21,ll中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为
10、1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为3x，当1l方程为3x时，此时1l与准圆交于点1, 3,1 , 3，此时经过点1 , 3（或1, 3 ）且与椭圆只有一个公共点的直线是1y（或1y） ，即2l为1y（或1y） ，显然直线21,ll垂直；同理可证1l方程为3x时，直线21,ll垂直. 当21,ll都有斜率时，设点),(00yxP，其中42 02 0 yx.设经过点),(00yxP与椭圆只有一个公共点的直线为00)(yxxty，则 13)(2200yxtxytxy消去y，得03)(3)(6)312 000022txyxtxytxt（.由0化简整理得：012)32 00022 0ytyxtx（.因
11、为42 02 0 yx，所以有0) 3(2)32 00022 0xtyxtx（.设21,ll的斜率分别为21,tt，因为21,ll与椭圆只有一个公共点，所以21,tt满足上述方程0) 3(2)32 00022 0xtyxtx（，所以121tt，即21,ll垂直. 综合知：因为21,ll经过点),(00yxP，又分别交其准圆于点NM,，且21,ll垂直，所以线段MN为准圆422 yx的直径，所以MN=4. 19己知椭圆C ：旳离心率e =,左、.右焦点分别为，点.，点尽在线段PF1的中垂线i.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线与椭圆C交于M，N两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线/过定
12、点，并求该定点的坐标.【答案】由已知 +=，得220F MF Nkk,1212011kxmkxm xx化简，得 2kx1x2+（m-k）（x1+x2-2m）=0222224()2202121mkm mkkmkkg 整理得 m=-2k直线 MN 的方程为 y=k（x-2），因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）20如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 ODAB，Q 为线段 OD 的中点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；(II)过点 B 的直线l
13、与曲线 C 交于 M、N.两点，与 OD 所在直线交于 E 点，MBEM1，NBEN2证明：21为定值.【答案】 （）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上,|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2521222|AB|=4曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则 2a=25,a=5,c=2,b=1 4 分曲线C的方程为52x+y2=1【法 1】 （）：设,M N E点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x yN xyEy，易知B点的坐标
14、为(2,0)且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交1EMMBuuu u ruuu r ，110111( ,)(2,)x yyxy 11 112 x，10 11yy 将M点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(51210211y，去分母整理，得055102 012 1y同理，由2ENNBuuu ruuu r 可得：055102 022 2y 1，2是方程055102 02yxx的两个根 11 分 1021【法 2】 （）：设,M N E点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x yN xyEy，易知B点的坐标为(2,0)且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交显然直线 l 的斜率存在，设直线l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 )2( xky将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得052020)51 (2222kxkxk 22215120 kkxx，222151520 kkxx 又 1EMMBuuu u ruuu r ， 则110111( ,)(2,)x yyxy
