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1、1第九章第九章 行列式与线性方程组行列式与线性方程组教学目标：教学目标： 1、 掌握二阶行列式与二元线性方程组的定 义及性质 2、 掌握行列式的性质及算法 3、 掌握线性方程组的行列式解法 教学重点：教学重点： 1、行列式的性质及展开 2、线性方程组的行列式解法 教学难点：教学难点： 线性方程组的行列式解法 教学过程：教学过程： 第一节 二阶行列式与二元线性方程组1、 引入引入： 九宫之义，法以灵龟； 二四为肩，六八为足； 左七右三，戴九履一， 五居中央816357492四四图1151441211109876513321616151413121110987654321外角对换（ 34 ）115
2、14412679810115133216内角对换考察两个二元线性方程所组成的方程组（1） 222111 cybxacybxa消去 y 得（2）12211221bcbcxbaba同理消去 x 可得 （a1b2a2b1）y=a1c2-a2c1（3）如果代数式（a1b2a2b1），就可以用0 它去除（2） （3）的两边得（41221122112211221,babacacaybababcbcx） 为了使（4）的结果记忆方便记忆方便，我们引入二 阶行列式的概念。2、定义：、定义：（5）1221 2211babababa其中 a1,a2,b1,b2称为行列式的元素，横排称 为行列式的行，竖排称为行列式的
3、列。 性质：性质：（1）22112211 babababa（行列式的第 i 行改为第 i 列，第 i 列改为 第 i 行，行列式的值不变。 ）（2）22112211 babaabab（二阶行列式两列（或两行）对调，则行 列式的值要改变符号）方程组（1）的解（4）用行列式表示为2211221122112211babacacaybababcbcx方程组（1）的系数行列式系数行列式2211 baba分子行列式分子行列式，xy所以方程组的解可表示为yxyx,2注注注注（1）若，则方程组（1）有唯一0 一组解。 （2）若=0，x与y至少有一个不为 零，则方程组（1）无解。 （3）若=x=y=0，则方程组
4、（1） 有无限多组解。 3、例题：、例题：例 1 解方程组. 11761087yxyx例 2 解方程组. 164796 yxyx例 3 解方程组 3935155 yxyx4、作业：、作业：5、课后小结：、课后小结：第二节第二节 三阶行列式概念及其性质三阶行列式概念及其性质31、 三阶行列式 用二阶行列式可以解二元线性方程组，一 般地，可以用 n 阶行列式解 n 元线性方程 组。下面我们只对用三阶行列式解三元线 性方程组加以讨论，因此我们先给出三阶 行列式的概念。 定义：定义：123312231213132321333222111cbacbacbacbacbacbacbacbacba三阶行列式的
5、计算可按图得出：三阶行列式的计算可按图得出：例题：例题： 计算三阶行列式的方法称为对角线法 则.例 1 计算 2023121232、 三阶行列式的性质三阶行列式的性质性质性质 1： 把行列式的第 i 行改为第 i 列，第 i 列改为 第 i 行，行列式的值不变，即333222111321321321cbacbacbacccbbbaaa性质性质 2： 对调行列式的两行（或两列） ，行列式的值 改变符号,但绝对值不变.如(可用对角线法证明)333111222333222111cbacbacbacbacbacba性质性质 3: 有两行(或两列)相同的行列式的值必为零. 证明:性质性质 4: 把行列式
6、的某行(或某列)所有元素同乘以某 数 k 的结果等于以数 k 乘以这个行列式,如= k333222111cbacbakckbka333222111cbacbacba推论推论 1:一个行列式中某一行(或某一列)各元4素的公因子可以提到行列式记号的外边推论推论 2:如果一个行列式中有一行(或一列)的 元素全为零,则这个行列式为零性质性质 5:如果行列式的两行(或两列)的对应元 素成比例,则这个行列式为零.性质性质 6:如果行列式的一行(或一列)的元素都 是两项式,那么这个行列式等于两个行列式 的和。 证明：性质性质 7：把行列式的某一行（或某一列）所 有元素同乘以一数后，加于另一行（或另 一列）的
7、对应元素，则行列式的值不变。3、为了叙述、书写方便，我们约定：、为了叙述、书写方便，我们约定：(1)记号 “”表示第 i 行的公因子提出来;i (2)记号 “(i , j)”表示将第 i 行与第 j 互换(3)记号 “ i+j”表示将第 j 行的倍加到第 i 行上去. 注：由于性质 2性质 7 对行列式的列也成 立，我们也可以用上面的记号表达对行 列式的列变换。为了区别起见，当进行 行变换时，将记号写在等号上方，当进 行列变换时，将记号写在等号的下方。 若在等号上（下）方同时出现几个记号 时，则按顺序由上至下进行。 4、例题：、例题：例 2 计算 615214253531014例 3 计算.6
8、1 21 313113221 231例 4 用行列式性质证明.0 000 cbcaba例 5 利用行列式性质证明5=.bacbcbcaacbaabcbcacab5、课后小结：、课后小结：第三节第三节 行列式的按行列展开行列式的按行列展开导入： 三阶行列式我们可以用对角线法则进行计 算。要想简化行列式的计算，可以先用行 列式性质将行列式变形，再按行或按列展 开计算。为了学习这种方法，我们先介绍 子行列式与代数余子式的概念。 1、子行列式、子行列式 把行列式中某一元素所在的行与列划去后， 留下来的元素按原来的位置关系组成的行 列式，称为这个行列式对应与该元素的子 行列式。如：行列式对应于元素 b3
9、的子行333222111cbacbacba列式为2211 caca2、代数余子式、代数余子式 设行列式中某一元素所在的行数为 i， 列数为 j。将对应于该元素的子行列式乘上 （-1）i+j所得的式子称为对应于该元素的代 数余子式 某元素的代数余子式，用这个元素的 大写字母并附以相同的下标表示。如行列 式对应于元素 b3的代数余子式为 2211221123 31cacacacaB3、定理、定理 定理 1：行列式等于它的任意一列（或一行） 的各元素与对应于它们的代数余子式的乘 积之和。设那么333222111cbacbacba证明：4、例题、例题6例 1 把行列式按第三241352134 行展开，
10、并求值. 按一行（或一列）展开行列式来求值 时，如果先根据行列式的性质把某一行 （或某一列）的两个元素变为零，再展开 求值就简便得多.例 2 计算. 8546459685、定理、定理 2 行列式某一列（或某一行）各元 素与另一列（或另一行）对应元素的代数 余子式的乘积之和恒等于零。设设，那么333222111cbacbacba证明：第四节第四节 二元线性方程组二元线性方程组教学过程：教学过程： 导入： 我们已经介绍了三阶行列式的性质，下面介绍如何利用三阶行列式解三元线性方程 组 一、下面我们讨论如何用三阶行列式来解三元线性方程组 333322221111dzcybxadzcybxadzcybx
11、a1、如果方程组的系数行列式，0 则方程组有唯一一组解，xxyyzz333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa（1） 假设此此方程组的系数行列式为0我们以中对应组成了一个新的方程组（2） 方程组（2）由（1）推出，所以 同解同解72、如果方程组的系数行列式，0而至少有一个不等于零，则方zyx,程组没有解；3.如果，并且，00zyx这时方程组可能没有解，也可能有无限多 组解.二、例题 例 1 解方程组. 733023532zyxzyxzyx例 2 解方程组. 321zyxzyxzyx例 3 解方程组. 333322221zyxzyxzyx三、作业：四、课后小结：8第五节第
12、五节 齐次线性方程组齐次线性方程组教学过程：教学过程： 复习导入： 前面学习了二元线性方程组及三元线性方 程组的行列式解法一、一、我们讨论含有两个三元齐次线性我们讨论含有两个三元齐次线性 方程的方程组方程的方程组 （1） 00222111 zcybxazcybxa显然 x=y=z=0 为方程组的一解，称之为零 解；除了零解是否还有非零解？如果有， 如何来求解？ 解法的讨论解法的讨论 1、方程组的系数组成三个行列式、方程组的系数组成三个行列式，2211 baba2211 caca2211 cbcb至少有一个不等于零时，则奇次方程组的 解可表示为，2211 cbcbkx 2211 acacky ，
13、其中取任意数值.2211 babakz k为 0；例如第一个行列式不为 0；则我们可 将方程组（1）改写成 （2） 这里可以给未知数 z 以任何数值；当Z 的数值给定后，则方程组（2）有唯一一 组解 X = Y结论：结论：2、三个行列式都等于、三个行列式都等于 0 这时我们有方程组变成一个方程，奇次线性方程组一定0111zcybxa有非零解.因此，若三个行列式都等于 0；齐次方程组 （1）一定有非零解。 例题：例题：例 1 解方程组. 032032 zyxzyx例 2 解方程组 01024052zyxzyx9二、二、含有三个三元齐次方程的方程组含有三个三元齐次方程的方程组下面我们讨论含有三个三
14、元奇次线性 方程的方程组（5） 000333222111zcybxazcybxazcybxa如果方程组的系数行列式，则方程组0 有唯一的一组零解；反过来，如果，我们可以证明方程组0 一定有非零解.分两种情况：（1）如果）如果，但它的子行列式中至少，但它的子行列式中至少0 有一个不等于零，则有一个不等于零，则，2211 cbcbkx ，2211 acacky ，其中.2211 babakz k0证明：（2）如果）如果，并且它的所有的子行列，并且它的所有的子行列0 式全为零，这时方程组中任何两个方程的式全为零，这时方程组中任何两个方程的 系数都成比例，这样可得方程组的无限多系数都成比例，这样可得方
15、程组的无限多 组解组解.结论：结论：方程组（方程组（5）有非零解）有非零解0例题：例题：例 3 解方程组. 0230032zyxzyxzyx例 4 解方程组. 030230yxzyxzyx例 5 解方程组 033302220zyxzyxzyx10第六节第六节 高阶行列式高阶行列式教学过程：教学过程： 复习导入： 我们可以把二阶、三阶行列式推广到 四阶甚至更高阶的行列式，其性质同样适 用。 但四阶以上的行列式计算不能用对角 线法则，只能用“按行按列展开法”计算.例 1、计算四阶行列式.3351110243152113例 2 、计算四阶行列式3782582375246442小结：11复习课复习课第九章知识点总结第九章知识点总结1、二阶行列式2、三阶行列式3、行列式的性质 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）记号：记号：1、 行列式的按行
