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1、第二讲第二讲 函数的等高线、梯度线及有关的作图问题函数的等高线、梯度线及有关的作图问题鲨鱼袭击目标的前进途径鲨鱼袭击目标的前进途径等高线和梯度线有广泛的实际应用，例如在地理学中绘制地貌图，在气 象学中绘制气象图等等.本实验通过鲨鱼袭击目标这一例子介绍二元函数的等 高线和梯度线的绘制，最后介绍用等高线来做一元隐函数的图形及微分方程 的积分曲线.2.1 等高线的绘制等高线的绘制二元函数在空间表示的是一张曲面，这个曲面与平面),(yxfz 的交线在面上的投影曲线称为函数的一条cz xoycyxf),(),(yxfz 等高线，我们可以用 Matlab 作出等高线的图形. 等高线的作图命令为“Conto
2、urContour” ，最基本格式为 Contour二元函数，自变量 1，自变量 1 最小值，自变量 1 最大值， 自变量 2，自变量 2 最小值，自变量 2 最大值例 1 作出在区间上的等高线.)(22yxxez32, 22yx解 X,Y = meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:3);Z = X.*exp(-X.2-Y.2); C,h = contour(X,Y,Z); set(h,ShowText,on,TextStep,get(h,LevelStep)*2) colormap cool 运行后见图（2.1）.2.2 矢量场图矢量场图 矢量场图（又称速度图）是指由指令 quive
3、r 实现的.它主要用于描写函数在点的梯度大小和方向。其一般的调用格式为：),(yxfz ),(yxquiver(X,Y,DZX,DZY)例 2 作出函数的等高线和矢量场.)(22yxxez解 X,Y = meshgrid(-2:.2:2,-1:.2:2);Z = X.*exp(-X.2 - Y.2);DX,DY = gradient(Z,.2,.2);% 求二元函数矩阵 Z 的梯度指令，0.2 为 x、y方向上的计算步长. DX,DY 是.yz xz ,C,h = contour(X,Y,Z); hold on quiver(X,Y,DX,DY) colormap hsv hold off 运
4、行后见图（2.2）.图（2.1）等高线及其标注图（2.2）等高线和矢量场 2.3 梯度线的描绘梯度线的描绘设为平面曲线，如果上任意一点处的切线与函数在该店LL),(yxfz 处的梯度位于同一直线上，则称为的梯度线。现在来讨论如何L),(yxfz 作出函数的梯度线。下面我们一等步长的折线段来近似模),(yxfz 拟函数的梯度线。设步长为，从点()出发，沿梯度方向前进得0P00, yx到点，即),(111yxP),(),(),(00200200 01yxfyxfyxfxxyxx , ),(),(),(00200200 01yxfyxfyxfyyyxy 再从出发沿梯度线向前进得到点,依次得到一列点，
5、利),(111yxP),(222yxP用“plot“做出此点集的图形，即得梯度线的图形. 例 3.作出函数的梯度线.22yxzclear all t=cputime; syms x y S= sym(x2 -y2); Sx=diff(S,x); Sy=diff(S,y); x0=1;y0=1; lamda=0.01; i=1; sx(1)=x0; sy(1)=y0; for i=2:400fx=subs(Sx,x,y,sx(i-1),sy(i-1);fy=subs(Sy,x,y,sx(i-1),sy(i-1);sx(i)=sx(i-1)+lamda*fx./sqrt(fx.2+fy.2);sy
6、(i)=sy(i-1)+lamda*fy./sqrt(fx.2+fy.2);end plot(sx,sy) cputime-t 运行后见图（2.3）.图（2.3）梯度线2.4 鲨鱼袭击目标的前进途径鲨鱼袭击目标的前进途径 海洋生物学家发现，当鲨鱼在海水中察觉到血液的存在时，就会沿着血液 浓度增加得最快的方向前进去寻找目标.根据在海水中世纪测试的结果，如果 以流血目标处作为原点在海面上建立直角坐标系，则在海面上点 P(x,y)处的血液浓度近似等于（x,y 的单位为 m,f(x,y)单位的百万42210/ )2(),(yxeyxf分之一） 键入x,y = meshgrid(-1:.05:1,-1:
7、.05:1); z =exp(-x.2-2*y.2)/104); C,h = contour(x,y,z); hold on运行后，作为函数的等高线，得到图（2.4）.由题设条件和梯度的性质可知，鲨鱼袭击目标的前进途径即为的梯),(yxf度线，下面作出的梯度线，有前面梯度线的绘制可知， ),(yxf图（2.4）的等高线42210/ )2(),(yxeyxfsyms x y S= sym(exp(-x.2-2*y.2)/104); Sx=diff(S,x); Sy=diff(S,y); x0=1;y0=1; lamda=0.01; i=1; sx(1)=x0; sy(1)=y0; for i=2
8、:400fx=subs(Sx,x,y,sx(i-1),sy(i-1);fy=subs(Sy,x,y,sx(i-1),sy(i-1);sx(i)=sx(i-1)+lamda*fx./sqrt(fx.2+fy.2);sy(i)=sy(i-1)+lamda*fy./sqrt(fx.2+fy.2); end plot(sx,sy) hold on 得到图（2.5）：图（2.5）鲨鱼袭击目标的前进途径 再运用 hold on 命令把等高线和梯度线在同一坐标系中显示，得图（6）.图（2.6）等高线和梯度线 函数的梯度线在实际中有广泛的应用，例如在温度场总热量的流动也是 沿着梯度线方向的.习题 1.一块长方
9、形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)， (5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什 么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？(应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行) 第三讲第三讲 函数的极值、最值及有关的最优化问题函数的极值、最值及有关的最优化问题水轮机最优化问题水轮机最优化问题最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省 人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优 化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排
10、序不等式等 内容。3.1 多元函数的偏导数多元函数的偏导数 1调用格式一： diff(多元函数,自变量,n) 其中，n 为所求偏导数的阶数例 1 已知，求和.yxz2cos2xyz xz 2 ,22yz 解 打开文件编辑窗口，在其中输入下面命令集： pzpx=diff(x2*cos(2*y),x) p2zpypx=diff(pzpx,y) p2zpy2=diff(x2*cos(2*y),y,2) 取名为 exa9 保存，再在命令窗口中输入命令 exa9，程序运行结果如下： pzpx = 2*x*cos(2*y) p2zpypx = -4*x*sin(2*y) p2zpy2 = -4*x2*co
11、s(2*y)即,.)2sin(4),2cos(22 yxxyzyxxz)2cos(42 22 yxyz2调用格式二： syms x y z diff(f,自变量,n)例 2 已知，求)5sin(32zyxzyxu yxu xu 32 ,解 在命令行中依次输入：syms x y z u=sin(x2-y3+5*z); ux=diff(u,x); uxy=diff(ux,y); uxyz=diff(uxy,z); uz3=diff(u,z,3); ux,uxyz,uz3 运行结果如下： ux = 2*cos(x2-y3+5*z)*x uxyz = 30*cos(x2-y3+5*z)*y2*x uz
12、3 = -125*cos(x2-y3+5*z)3.2 隐函数的导数隐函数的导数 在 Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用 Maple 中求隐函数导 数的命令， 调用格式如下：maple(implicitdiff(f(u,x,y,z,，)=0,u,x)例 3 求由多元方程 x2 + y2 + z2 = xyz 所确定的隐函数xz 解 在命令行中输入： pzpx=maple(implicitdiff(x2+y2+z2-x*y*z=0,z,x) 运行结果是： pzpx = (2*x-y*z)/(-2*z+x*y) 即 xy z x yz3.3 一元函数的极（或最）值一元函数的极（或最
13、）值例例 1 1求 在中的最小值与最大值xefxsin280 x主程序为主程序为:f=2*exp(-x).*sin(x);fplot(f,0,8); %作图语句xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8)f1=-2*exp(-x).*sin(x);xmax,zmin=fminbnd (f1, 0,8) ymax=-zmin 运行结果：xmin = 3.9270 ymin = -0.0279xmax = 0.7854 ymax = 0.6448 3.4 多元函数的极（或最）值多元函数的极（或最）值 在 Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元 函数的形式比较复杂
14、，不同情况用到不同的 Matlab 函数若要求多元函数 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求在该区域内的极（或最）小uu 值1非线性无约束情形 求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是： x,fval=fminsearch(f,x0) %fminsearch 是不能设定约束范围的f 是被最小化的目标函数名，x0 是求解的初始值向量例 求二元函数的最值点和最值2331042),(yxyxyxyxf解 打开文件编辑窗口，在其中输入下面命令集： %必须对自变量进行转化 x=x(1)，y=x(2) Xmin,fmin=fminsearch(2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1
15、)*x(2)+x(2)2,0,0); Xmax,Fmin=fminsearch(-2*x(1)3-4*x(1)*x(2)3+10*x(1)*x(2)-x(2)2,0,0); fmax=-Fmin; Xmin,fmin Xmax,fmax 取名为 exa10 保存，再在命令窗口中输入命令 exa10，程序运行结果如下： Xmin = 1.0016 0.8335 fmin = -3.3241 Xmax = -1.0000 1.0000 fmax = 5.00002非线性有约束情形 非线性有约束优化问题的数学模型如下： ubxlbbeqxAeqbxAxceqxcxM, 0)(, 0)(),inf(式中，和是向量，和是矩阵，和为lbbeqbx,ubAAeq)(xc)(xceq函数，返回量和可以是非线性函数求极（或最）)(),(xcxf)(xceq小值点或极（或最）小值的调用格式如下： x,fval=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) nonlcon 参数计算非线性不等式约束 c(x)0,i=1,2,3 建立函数文件 fu
