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1、第一章 导数与微分 教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程 和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续 性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导 数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导
2、法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。2. 1 导数概念一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻 t 质点的坐标为 s, s 是 t 的函数: sf(t), 求动点在时刻 t0 的速度. 考虑比值, 这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在 实践中也可用来说明动点在时刻 t0 的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令 t t00, 取比值 的极限, 如果这
3、个极限存在, 设为 v , 即, 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度. 2切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M, 在点 M 外另取 C 上一点 N, 作割线 MN. 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时, 如果割线绕点旋转而趋于极限位置 MT, 直线就称为曲线有点 处的切线. 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形. 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y), 于是割线 MN 的斜率为, 其中为割线 MN 的倾角. 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时, xx0.
4、 如果当 x 0 时, 上式的极限 存在, 设为 k , 即存在, 则此极限 k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里 ktan ,其中是切线 MT 的倾角. 于是, 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线. 二、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的 极限: . 令xxx0, 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0), xx0 相当于x 0, 于是 成为或 . 定义 设函数 yf(x)在点 x0 的某个邻域内有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得
5、增量x(点 x0x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y 取得增量yf(x0x)f(x0); 如果y 与x 之比当x0 时的极限存在, 则称函数 yf(x)在点 x0 处可导, 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数, 记为 , 即, 也可记为 , 或 . 函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 . 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓 函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限 不存在, 就说函数 yf(x)在点 x0 处
6、不可导. 如果不可导的原因是由于 , 也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大. 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导, 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导, 这时, 对于任一 x I, 都对应着 f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫 做原来函数 yf(x)的导函数, 记作 , , , 或 . 导函数的定义式: . f (x0)与 f (x)之间的关系: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值, 即. 导函数 f (x)简称导数, 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或
7、导数 f (x)在 x0 处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义f(x)在 的左导数: ;f(x)在 的右导数: .如果极限 存在,则称此极限值为函数在 x0 的左导数.如果极限 存在,则称此极限值为函数在 x0 的右导数. 导数与左右导数的关系 .2求导数举例例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数. 解: . 即(C ) 0. 例 2 求 的导数 解 例 3 求 的导数解 例 2求函数 f(x)x n (n 为正整数)在 xa 处的导数. 解: f (a) (x n1ax n2 a n1)na n1. 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1, 即 (x n)nx
8、n1. (C)=0, , , .更一般地, 有(x )x 1 , 其中为常数. 例 3求函数 f(x)sin x 的导数. 解: f (x) . 即 (sin x)cos x . 用类似的方法, 可求得 (cos x )sin x . 例 4求函数 f(x)a x(a0, a 1) 的导数. 解: f (x) . 特别地有(e x )e x . 例 5求函数 f(x)log a x (a0, a 1) 的导数. 解: . 解: . 即 . :特殊地 . .3单侧导数: 极限 存在的充分必要条件是及 都存在且相等.f(x)在 处的左导数: , f(x)在 处的右导数: . 导数与左右导数的关系:
9、 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且 相等. 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在, 就说 f(x)有闭区间a, b上可导. 例 6求函数 f(x)x|在 x0 处的导数. 解: , , 因为 f (0) f (0), 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导. 四、导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的 斜率, 即f (x 0)tan , 其中是切线的倾角. 如果 yf
10、(x)在点 x0 处的导数为无穷大, 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 xx0 为极限位置, 即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0. :由直线的点斜式方程, 可知曲线 yf(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为yy0f (x0)(xx0). 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 yf(x)在点 M 处的法线如果f (x0)0, 法线的斜率为 , 从而法线方程为. 例 8. 求等边双曲线 在点 处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: , 所求切线及法线的斜率分别为, .所求切线方程为 , 即
11、4xy40. 所求法线方程为 , 即 2x8y150. 例 9 求曲线 的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为. 于是所求切线的方程可设为. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此, 解之得 x0=4. 于是所求切线的方程为 即 3xy40 四、函数的可导性与连续性的关系设函数 yf(x)在点 x0 处可导, 即 存在. 则. 这就是说, 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的. 所以, 如果函数 yf(x)在点 x 处可导, 则函数在 该点必连续. 另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例 7 函数 在区间(, )内连续, 但在
12、点 x0 处不可导. 这是因为函数在点 x0 处导 数为无穷大. 2 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 u=u(x)及 v=v(x)在点 x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母 为零的点外)都在点 x 具有导数 并且u(x)v(x)=u(x)v(x) u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x) 证明 (1) =u(x)v(x).法则(1)可简单地表示为(uv)=uv (2) =u(x)v(x)+u(x)v(x), 其中 v(x+h)=v(x)是由于 v(x)存在, 故 v(x)在点 x 连续. 法则(2)可简单地表示为(uv)=uv+u
13、v. (3) 法则(3)可简单地表示为. (uv)=uv, (uv)=uv+uv, .定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、vv(x)、 ww(x)均可导 则有(uvw)uvw (uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw. 即 (uvw)=uvw+uvw+uvw. 在法则(2)中 如果 v=C(C 为常数), 则有 (Cu)=Cu. 例 1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求 y解: y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-5x 2)+3x)-7)= 2 (x 3)- 5
14、x 2)+ 3 x)=23x 2-52x+3=6x 2-10x+3. 例 2. , 求 f (x)及 . 解: , . 例 3y=e x (sin x+cos x), 求 y. 解: y=e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)= e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x)=2e x cos x. 例 4y=tan x , 求 y. 解: .即 (tan x)=sec2x . 例 5y=sec x, 求 y. 解: =sec x tan x . 即 (sec x)=sec x tan x . 用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)=-csc2x , (csc x)=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 x=f(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0, 那么它的反函数 y=f 1(x) 在对应区间 Ixx|xf(y) yIy内也可导, 并且 或 简要证明: 由于 xf(y)在 I y 内单调、可导(从而连续) 所以 xf(y)的反函数 yf 1(x)存 在 且 f 1
