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1、1专题三：不等式问题的题型与方法（3 课时）一、考试内容不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式 二、考试要求1理解不等式的性质及其证明. 2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简 单的应用. 3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. 4掌握简单不等式的解法. 5理解不等式.|bababa三、复习目标1在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不 等式的解法通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，
2、化归为整式不等 式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使 学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题； 4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式 的能力； 5能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题 6通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几 何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高分析问题解决问题的能 力 四、双基透视1解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则
3、是不等式变形的理论依据， 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来， 互相转化 2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想， 分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式 的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用 3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等 式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象 关系，对含有
4、参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰 4比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)变 形判断符号(值) 5证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式 的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉 各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点 6不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、 解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时， 要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这2
5、三个条件 五、注意事项1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或 一元二次不等式（组）来求解. 2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录 活运用. 3不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证 法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度. 4根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法. 六、范例分析例 1、设集合，若，325),3(|1| )3(| ),(yyyyxyxMMba),(且对中的其它元素，总有，则.M),(dcac _a分析：分析：读懂并能揭示
6、问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对 M 中的 其它元素，总有”？M 中的元素又有什么特点？),(dcac 解：解：依题可知，本题等价于求函数)3(|1| )3()(yyyyfx在时的最小值.325y（1）当时，125y，所以时，425)21(6)3()1)(3(22yyyyyyx25y.49minx(2)当时，.31 y49)23(3)3() 1)(3(22yyyyyyx所以时，而，因此当时，有最小值，即.1y4minx494 25yx49 49a说明：说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其数学实质即求集合 M 中的元素满足关系式
7、“”的所有点中横坐标最小的值.325),3(|1| )3(yyyyxa例例 2解关于的不等式： x0922 aaaxx分析：分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不a 等式组的解集求并集，得出原不等式的解集.解：解：当，029929222aaxxaxaaxxaxax，即时，不等式可转化为3，当时，不等式可化为，axa6173ax axaaxax 2)(9即， 029922aaxxaxaxa32或原不等式的解集为.6173,323,(aaa例例 3若二次函数的图象经过原点，且，求)(
8、xfy 2) 1(1 f4) 1 (3 f的范围)2(f分析：分析：要求的取值范围，只需找到含的不等式(组)由于是二次)2(f)2(f)(xfy 函数，所以应先将的表达形式写出来即可求得的表达式，然后依题设条件列)(xf)2(f出含有的不等式(组)，即可求解)2(f解：解：因为的图象经过原点，所以可设于是)(xfy bxaxxfy2)(， (1) 4) 1 (32) 1(1 ff 4321 baba解法一：解法一：(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得， 6244222 aba10246ba10)2(6 f所以的取值范围是6，10)2(f解法二：解法二：(数形结合)建立直角坐标系，作出不
9、等式组()所表示的区域，如图 6 中的阴影部分因为aOb，所以表示斜率为 2 的直线系如图 6，当直线baf24)2(0)2(24fba4过点 A(2，1)，B(3，1)时，分别取得的最小值 6，最大值0)2(24fba)2(f10即的取值范围是：)2(f10)2(6 f解法三：解法三：(利用方程的思想)，因为，所以， bafbaf ) 1() 1 ( )1() 1 (21)1() 1 (21ffbffa又，而， ) 1 () 1(324)2(ffbaf2) 1(1 f4) 1 (3 f所以 6) 1(33f+得，即10) 1 () 1(34ff10)2(6 f说明：说明：(1)在解不等式时，
10、要求作同解变形要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得，而， 321624 ba 23 2132ba baf24)2(，所以1248 a13b11)2(5 f(2)对这类问题的求解关键一步是，找到的数学结构，然后依其数学结构特征，)2(f揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从 不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高例例 4若，求证，0a0b233ba2ba1ab分析：分析：由条件及待证的结论的结构入手，联想它们之间的内在联233ba2ba 系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁” 证法
11、一：证法一：(作差比较法)因为，所以0a0b233ba 6338332)(22223333abbaabbababa，0)(3)()( 32)( 3233babababaabbaab即332)(ba又，所以。因为，所以.0ba2ba22baab1ab证法二：证法二：(平均值不等式综合法)因为，所以，故，0a0b233ba333322baba1ab由33311111111bababa5,236 34 311 3113333 baba所以，2ba1ab 说明：说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮 证法三：证法三：(构造方程)设，为方程的两根则，ab02nmxx abnbam因为
12、，所以，且0a0b0m0n042nm因此，)3(3)()(2222233nmmabbabababababa所以mmn32 32 将代入得，即，所以，0)32 3(42 2mmm0383 mm083 m即，所以2m2ba由得，又，所以，即所以m224mnm42n44 1n1ab 说明：说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到 解决问题的切入点 证法四：证法四：(恰当的配凑)因为，所以0a0b233ba，)()2)()(22233baabababbababababa于是有，从而，)(36baab33322)(332)(38babaabbabaab所以(以下略)2b
13、a证法五：证法五：(反证法) 假设，则2ba)32(23)()(222233ababbabababababa因为，所以，因此 233ba)34(22ab1ab 另一方面,abbaabababbababababa2)()2)()(22233所以 1ab 于是与矛盾，故(以下略)2ba 说明：说明：此题用了五种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法 例例 5已知奇函数在有定义，在上是增函数，)(xf), 0()0 ,(), 0( 0) 1 (f又知函数，集合，2, 0,2cossin)(2mmg0)(|gmM恒有，求0)(|gfmN恒有NM 分析：分析：这是一道比较综合的问题，考查很多
14、函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二 次函数在闭区间上的最值问题. 解：解：奇函数在上是增函数，在上也是增函数，又由Q)(xf), 0( )(xf)0 ,(，0) 1 (f6得，满足的条件是，0) 1 () 1(ff 0)(0)(gfg 1)(0)(gg即，即，)2, 0( 1)(g12cossin2mm也即.022coscos2mm令，则，又设，cost 1 , 0t22)(2mmttth10 t要使，必修使在内的最大值小于零.0)(th)(th 1 , 010 当 mmmmhthmm知解不等式组时，即0220, 22)0()(002max；2224048820,488)(,20120222max0 mmmmmmthmm得解不等式组时即当3
