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1、1函数的单调性适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域河南省课时时长（分钟）60知识点函数的单调性；函数单调性的应用。教学目标使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法教学重点函数单调性的概念、判断及证明教学难点归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性2教学过程一、课堂导入北京的天气到 8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事下图是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图问题：观察图形，能得到什么信息？34二、复习预习分别作出函数yx2，yx2，yx
2、2，y 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？1x5三、知识讲解考点 1函数单调性的定义：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数6考点 2函数的单调性与函数的最值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值7四、例题精析例 1 【题干】证明函数f(x)x 在(，)上是增函数2x28【答案】证明：任取x1，x2(，)，且x
3、1x2，设元2f(x1)f(x2)求差(x12x1) (x22x2)(x1x2)(2x12x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，变形2(x2x1)x1x2(12x1x2)x1x22x1x2x1x2，2x1x20，x1x22，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，断号函数f(x)x 在(，)上是增函数2x2【解析】证明：任取x1，x2(，)，且x1x2，设元2f(x1)f(x2)求差(x12x1) (x22x2)9(x1x2)(2x12x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，变形2(x2x1)x1x2(12x1x2)x1x22x1x2x1x2，2x1x20，x1x22，f(x
4、1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，断号函数f(x)x 在(，)上是增函数2x210例 2 【题干】求函数y在区间2,6上的最大值和最小值2x111【答案】当x2 时，函数y在区间2,6上取得最大值f(2)2；2x1当x6 时，函数y在区间2,6上取得最小值f(6) .2x125【解析】设 2x1x26，则有f(x1)f(x2).2x112x212(x21)(x11)(x11)(x21)2(x2x1)(x11)(x21)2x1x26，x2x10，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)，即函数y在区间2,6上是减函数2x1当x2 时，函数y在区间2,6上取得最大值f(2)2；2x1当
5、x6 时，函数y在区间2,6上取得最小值f(6) .2x1251213例 3 【题干】画出函数yx22|x|3 的图象，指出函数的单调区间和最大值14【答案】函数的图象在区间(，1)和0,1 上是上升的，在1,0和(1，)上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在(，1)，0,1上是增函数；函数在1,0，(1，)上是减函数，最大值是 4.【解析】函数图象如图 6 所示图 6由图象得，函数的图象在区间(，1)和0,1 上是上升的，在1,0和(1，)上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在(，1)，0,1上是增函数；函数在1,0，(1，)上是减函数，最大值是 4.15五、课堂运用【基础】1、把长为
6、12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )Acm2 B4 cm2 C3cm2 D2cm232 32316【答案】D【解析】设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4x) cm，两个三角形的面积和为S，则Sx234(4x)2(x2)222.当x2 时，S取最小值 2cm2.故选 D.3432333172、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为 8 元的商品按 10 元一件的价格出售时，每天可销售 60 件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问该商品售价定为
7、多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润18【答案】售价定为 12 元时可获最大利润 160 元.【解析】设商品售价定为x元时，利润为y元，则y(x8)60(x10)1010(x12)21610(x12)2160(10x16)，当且仅当x12 时，y有最大值 160 元，即售价定为 12 元时可获最大利润 160 元.19【巩固】1、证明函数f(x)x24x1 在2，)上是增函数20【答案】证明：设x1，x2是区间2，)上的任意两个实数，且x2x12，则f(x1) f(x2)来源:学科网22 1122(41)(41)xxxx22 12124+4xxxx(x1x2)(x1x2)4(x1x2)(x1
8、x2)(x1x24)x2x12，x1x20，x1x24，即x1x240，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)来源:学,科,网 Z,X,X,K函数f(x)x24x1 在2，)上是增函数【解析】证明：设x1，x2是区间2，)上的任意两个实数，且x2x12，则f(x1) f(x2)来源:学科网22 1122(41)(41)xxxx22 12124+4xxxx(x1x2)(x1x2)4(x1x2)(x1x2)(x1x24)x2x12，x1x20，x1x24，即x1x240，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)来源:学,科,网 Z,X,X,K函数f(x)x24x1 在2，)上是增函数
9、212、已知函数，x1,3，求函数的最大值和最小值1( )1xf xx22【答案】函数在区间1,3的两个端点处分别取得最小值与最大值，即在x1 时取得最小值，最小值是 0；1( )1xf xx在x3 时取得最大值，最大值是1 2【解析】.1122( )=1111xxf xxxx 设x1，x2是区间1,3上的任意两个实数 ，且x1x2，则f(x1)f(x2)来源:Z,xx,k.Com122211+11xx1221122(1)2(1)22 11(1)(1)xx xxxx.12122() (1)(1)xx xx 由 1x1x23，得x1x20，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f
10、(x1)f(x2)所以，函数是区间1,3上的增函数1( )1xf xx因此，函数在区间1,3的两个端点处分别取得最小值与最大值，即在x1 时取得最小值，最小值是 0；在1( )1xf xxx3 时取得最大值，最大值是.1 223【拔高】1、已知函数f(x)ax22ax2b(a0)在2 ,3上有最大值 5 和最小值 2 ，求a，b的值24【答案】或1, 0a b 1,3.ab 【解析】f(x)ax22ax2ba(x1)22ba的对称轴方程是x1.(1)当a0 时，f(x)在2,3上是增函数来源:Zxxk.Com即(2)2, (3)5f f 22, 325,b ab 解得1, 0.a b (2)当a0 时，f(x)在2,3上是减函数，即(2)5, (3)2,f f 25,322,bab 解得1,3.ab 综上所述，或1, 0a b 1,3.ab 252、求函数y的最大值1x2x126【答案】函数y的最大值是1x2x143【解析】函数的定义域是 R，可以证明当x 时，函数y是增函数；121x2x1当x 时，函数y是减函数121x2x1则当x 时，函数y取最大值 ，121x2x143即函数y的最大值是1x2x14327课程小结1、函数单调性的证明2、求函数最值的方法：图象法，单调法，判别式法；
