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1、不等式 第 1 页(共 6 页)二元一次不等式组与简单的线性规划问题二元一次不等式组与简单的线性规划问题 一、知识归纳一、知识归纳: : 1二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧0CByAx0CByAx所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.对于在直线同一侧的所有点，实数的符号相同，所0CByAx),(yxCByAx以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0)，从的正负即可判断CByAx00表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点）0CByAx2线性规划： 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，
2、统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别),(yx使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。 3线性规划问题应用题的求解步骤： （1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； （2）作出相应的图象（注意特殊点与边界） （3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值； 二、例题分析：二、例题分析：例 1画出不等式 2+y-60 表示的平面区域.x 解：先画直线 2+y-6=0（画成虚线）.x 取原点（0，0） ，代入 2+y-6,20+0-6=-60,x 原点在 2+y-60 表示的平面区域内，不等式 2+
3、y-60 表示的区域如图：xx 点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是_(t2/3)_.画出不等式组表示的平面区域. 3005xyxyx解：不等式-y+50 表示直线-y+5=0 上及右下方的点的集xx 合，+y0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合，x3 表示直x 线 x=3 上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三 角形区域:例 2设满足约束条件：，yx, 1255334xyxyxB(-5 2,5 2)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0063xy不等式 第 2 页(共 6 页)分别求:（1）；（2）；（3）； （4）
4、的yxz106 yxz 222xy1xy最大值与最小值。解：（1）先作可行域，如下图所示中的区域，且求得、ABC)2 , 5(A) 1 , 1 (B)522, 1 (C作出直线，再将直线平移，当的平行线过点 B 时，可使0106:0yxl0l0l1l达到最小值；当的平行线过点 A 时，可使达到最大值。yxz106 0l2lyxz106 故，1611016minz5021056maxz（2）同上，作出直线，再将直线平移，当的平行线过点 C 时，可使02:0 yxl0l0l1l达到最小值；当的平行线过点 A 时，可使达到最大值。yxz 20l2lyxz 2则，512minz8maxz（3）表示区域
5、内的点到原点的距离。则落在点时，最小，),(yx),(yx) 1 , 1 (B落在点时，最大，故，),(yx)2 , 5(Amin2max25429（4）表示区域内的点与点连线的斜率。则落在点时，最),(yx)0 , 1(D),(yx)2 , 5(A小，落在点时，最大，故，),(yx)522, 1 (C31min511max例 3某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨； 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨 乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，
6、B 原料不 超过 18 吨.求该企业可获得最大利润。 例 3解析 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A 原料 B 原料甲产品x吨 3x 2x乙产品y吨y 3y则有： 183213300yxyxyx，目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x3，y4 时可获得最大利润为 27 万元。（3，4 ）（0，6 ）O（，0313）yx913不等式 第 3 页(共 6 页)三、练习题：三、练习题：1不等式表示的平面区域是02 yxA BCD2满足不等式的点的集合（用阴影表示）是022 xy),(yxAB CD3已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于
7、( , )P x y41xy yx x O|PO_,最大值等于_.2104如果实数满足条件，那么的最大值为xy、101010xyyxy 2xyA B C D21235.已知点 P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值 022, 01, 02yxyxzxy范围是 A2，1 B2，1 C1，2 D1，26已知满足约束条件 3005xyxyx，则yxz42 的最小值是不等式 第 4 页(共 6 页)A5 B6 C10 D107在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 2, 02, 02xyxyxA4 B4 C2 D2228. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表， f x2,为
8、的导函数，函数的图像如图所示若两正 fx f x yfx数满足，则的取值范围是(根据题意可, a b21fab3 3b a 以画出函数的图像，然后画出可行域)ABC D6 4,7 33 7,5 32 6,3 51,339点到直线的距离为，且在表示的区域内，则)4 ,(aP022 yx52P033 yx_16_ a10.若为不等式组表示的平面区域，则当从2 连续变化到 1 时，动直线A0 0 2x y yx a扫过中的那部分区域的面积为 xyaA15 811设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为_3_xy 632xyyxxy yxz 212设 x，y 满足约束条件 0, 002063yxyx
9、yx，若目标函数的是最大值为 12，则23 ab的最小值为_625_(0,0)zaxby ab解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线 x- y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12, 即4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而23 ab=23 23131325()()26666abba ababx-204 fx1-11不等式 第 5 页(共 6 页)13某厂生产 A 与 B 两种产品，每公斤的产值分别为 600 元与 400 元.又知每生产 1 公斤 A 产品需要电力 2 千
10、瓦、煤 4 吨；而生产 1 公斤 B 产品需要电力 3 千瓦、煤 2 吨.但该 厂的电力供应不得超过 100 千瓦，煤最多只有 120 吨.问如 何安排生产计划以取得最大产值?解:设生产 A 与 B 两种产品分别为 x 公斤，y 公斤，总产值为 Z 元。则 0, 01202410032yxyxyx且yxz400600 作可行域： 作直线 l：600x+400y=0，即直线 l：3x+2y=0,把直线 l 向右上 方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点 A，且与原点距离最 大，此时 z=600x+400y 取最大值.解方程组,得 A 的坐标为 x=20，y=20新疆学案王新敞 602100
11、32yxyx答：生产 A 产品 20 公斤、B 产品 20 公斤才能才能使产值最大。 14某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元，房地产投资 30 万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成。已 知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元。 若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万元，房地产投资不超过 180 万元，那么 这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？ 解：设稳健型投资份，进取型投资份，利润总额为（10 万元） ，xyz则目标函数为（10 万元） ，)5
12、 . 1(yxz线性约束条件为：，即 0, 018030301604020yxyxyx0, 0682yxyxyx作出可行域（图略） ，解方程组，得交点 682yxyx)2 , 4(Mx 2 2 y O -2 z=ax+b y 3x-y-6=0 x- y+2=00 不等式 第 6 页(共 6 页)作直线，平移 ，当 过点 M 时，取最大值：万元05 . 1yxllz10)34(maxz=70 万元。 15某公司计划 2009 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙 两个电视
13、台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元问 该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少 万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得 或即50020090000xy52900xy目标函数为30002000zxy 线性约束条件为3005290000.xyxyxy ，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线:300020000lxy，即320xy平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取 得最大值联立300 52900.xy xy ，解得100200xy，点M的坐标为(100 200)， max30002000700000zxy（元）答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告， 公司的收益最大，最大收益是 70 万元0100200300100200300400500yxlM
