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1、高三数学第二轮专题复习系列高三数学第二轮专题复习系列(8)- 圆锥曲线 一、知识结构一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点 与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线 叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y 0)=0； 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上f(x0,y0)0 两条曲线的交点 若曲
2、线 C1，C2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1，C2的交点f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲 线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：MOM=r ，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2 (2)一般方程 当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆
3、的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程2D 2E 24F-ED22x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+)2+(y+)2=2D 2E 44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-,-);2D 2E当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0)，则 MCr点 M 在圆 C 内， MC=r点 M 在圆 C 上， MCr点 M 在圆 C 内，其中MC=.2 02 0b)-(ya)-(x(3)直线和圆的位置关系 直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交有两个公共点 直线
4、与圆相切有一个公共点 直线与圆相离没有公共点 直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=与半径 r 的大小关系来判 22CBbAaBA 定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.椭 圆双曲线抛物线轨迹条件点集： (MMF1+MF2=2 a,F 1F22a点集：MMF1- MF2. =2a,F2F22a.点集M MF=点 M 到直线 l 的距离.圆 形标准方程+=1(ab0)22ax22by-22ax=1(a0,b0)22byy2=2px(p0)顶 点A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b
5、),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)轴对称轴 x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b对称轴 x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长： 2b对称轴 y=焦 点F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上F(，0)2P焦点对称轴上焦 距F1F2=2c，c=b2-a2F1F2=2c,c=b2a2准 线x=ca2准线垂直于长轴，且 在椭圆外.x=ca2准线垂直于实轴，且在 两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点 两侧，且到顶点的距 离相等.离心率e=,0e1ace=,e1ace=14.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(
6、x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离 之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率. 当 0e1 时，轨迹为椭圆 当 e=1 时，轨迹为抛物线 当 e1 时，轨迹为双曲线 5.坐标变换曲 线性 质坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫 做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改 变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换
7、 叫 做坐标轴的平移，简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标 系 x Oy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy 中的坐标是 (h,k)，则 x=x+h x=x-h (1) 或(2)y=y+k y=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程焦 点焦 线对称轴+=122h)-(x a22k)-(y b(c+h,k)x=+hca2x=h y=k椭圆+ =122h)-(x b22k)-(y a(h,c+k)y=+k
8、ca2x=h y=k-=122h)-(x a22k)-(y b(c+h,k)=+kca2x=h y=k双曲线-=122k)-(y a22h)-(x b(h,c+h)y=+kca2x=h y=k(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)2px=-+h2py=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)2px=+h2py=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)2py=-+k2px=h抛物线(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)2py=+k2px=h二、知识点、能力点提示二、知识点、能力点提示 (一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系
9、，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求 出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方 程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、三、考纲中对圆锥曲线的要求考纲中对圆锥曲线的要求： 考试内容： . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程； . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质； . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质； 考试要求： . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、
10、标准方程和抛物线的简单几何性质； . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四对考试大纲的理解对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查 的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查 以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数 学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的 能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重 考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结
11、合平面向量进行求解，在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、 分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆 锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一 起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个 坐标轴上时，
12、可设方程为 mx2+ny2=1(m0,n0). 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】【例例 1】 双曲线=1(bN)的两个焦点 F1、F2，P 为双曲线上一点，2224byx|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则 b2=_. 解：设 F1(c,0） 、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|250+2c2, 又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4,
13、 依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,317又c2=4+b2,b2,b2=1.317 35答案：1【例例 2】 已知圆 C1的方程为，椭圆 C2的方程为3201222yx，C2的离心率为，如果 C1与 C2相交于 A、B 两点，且线段 AB12222 byaxab 022恰为圆 C1的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C2的方程。解：由.,2,22,222222cbcaace得设椭圆方程为. 122222 bybx设 ).1 , 2().,().,(2211由圆心为yxByxA. 2, 42121yyxx又 , 12, 1222 2 22 2
14、22 1 22 1bybxbybxyxC1F2F1OAB两式相减，得 . 0222 22 1 22 22 1byybxx, 0)(2)(21212121yyyyxxxx又. 1. 2. 42121 2121xxyyyyxx得).2(1xyAB的方程为直线即3xy将得代入, 1232222 bybxxy. 021812322bxx. 07224.2 2bCAB与与与与与与与Q由.3204)(22212 2121xxxxxxBA得.320 3722422 b解得 故所有椭圆方程. 82b. 181622 yx【例例 3】 过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为的椭圆 C
15、 相交于22A、B 两点，直线 y=x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对21称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程.解法一：由 e=,得,从而 a2=2b2,c=b.22ac 21222 aba设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,.)(221212121 yyxx xxyy 设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=,00 2yx又(x0,y0)在直线 y=x 上，y0=x0,21 21于是=1,kAB=1, 00 2yx设 l 的方程为 y=x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x,y), byxbxybxy111221 解得则由点(1,1b)在椭圆上，得 1+2(1b)2=2b2,b2=.89,1692a所求椭圆 C 的方程为 =1,l 的方程为 y=x+1.229
