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1、04 第四讲第四讲抽象函数的类型与解法（答案）抽象函数的类型与解法（答案） 题型一题型一 正比例函数型的抽象函数正比例函数型的抽象函数 1已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）f（x）f（y） ，且当 x0 时，f(x)0， f(1) 2 求 f(x)在区间2,1上的值域； 分析：分析：先证明函数 f（x）在 R 上是增函数（注意到 f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1） ） ； 再根据区间求其值域. 2已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）2f（x）f（y） ，且当 x0 时，f(x)2，f(3) 5， 求不等式 f（a22a2）0,xN；f（a
2、b） f（a）f（b） ， a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出 f（x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出 f（x）2x；再用数学归纳法证明. 3已知函数 f（x） （x0）满足 f（xy）f（x）f（y） ， （1）求证：f（1）f（1）0； （2）求证：f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（0，）上是增函数，解不等式 f（x）f（x）0.21分析：分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0） （1）先令 xy1，再令 xy 1； （2）令 y 1； （3）由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（|x|）. 题型四题型四 对数函数型的抽象函数对数函数型的抽象函数 1设
3、 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足 f（xy）f（x）f（y） ，f（3）1，求： （1）求 f（1） ； （2）若 f（x）f（x8）2，求 x 的取值范围. 分析：分析：（1）利用 313； （2）利用函数的单调性和已知关系式. 2设函数 y f（x）的反函数是 yg（x）.如果 f（ab）f（a）f（b） ，那么 g（ab） g（a）g（b）是否正确，试说明理由. 分析：分析：设 f（a）m，f（b）n，则 g（m）a，g（n）b， 进而 mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）. 3设 f(x)是定义在（0，+）上的增函数，且对任意的 x,y（0，+） ，都有
4、f(xy)=f(x)+f(y)。（1）求证：当 x（1，+）时，f(x)0；且 f()=f(x)-f(y).yx（2）若 f(2)=1，解不等式 f(x+2)-f(2x)2. 分析：分析：由 f(xy)=f(x)+(y)，不难想到 f(x)应为对数函数形式，所以 f(1)=0，由题意条件，f(x)为增函数， 据此不难求解。 解：解：（1）令 x=y=1，则由 f(xy)=f(x)+f(y)得 f(11)=f(1)+f(1). 即 f(1)=2f(1)，f(1)=0，又由于函数 f(x)在（0，+）上为增函数，所以对任意 x（1，+） ，有 f(x) f(1)=0，故 f(x)0.设 x,y（0
5、，+） ，则有 （0，+） ，于是 f(x)=f(y) = f( ) + f(y)，即 f()=f(x)-f(y).yx yx yx（2）由于 f(2)=1，所以 f=f(2)+f(2)=f(22)=f(4)，由 f(x+2)-f(2x)2，f(x+2)f(2x)+f(4)， f(x+2)f(8x)，又因为函数 f(x)在（0，+）上为增函数，所以 x+28x，因 x（0，+） ，所以 0x .724已知定义在区间（0，+）上的函数 f(x)满足 f(=f(x1)-f(x2)，且当 x1 时，f(x)0.)21 xx（1）求 f(1)的值； （2）判断 f(x）的单调性； （3）若 f(3)=
6、-1,解不等式 f(|x|)-2. 解解 （1）令 x1=x20,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.（2）任取 x1,x2(0,+)，且 x1x2,则1,由于当 x1 时，f(x)0, 21 xx所以 f0,即 f(x1)-f(x2)0,因此 f(x1)f(x2),)( 21 xx所以函数 f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由 f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. 21 xx)39由于函数 f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数， 由 f(|x|)f(9),得|x|9,x9 或 x-9
7、.因此不等式的解集为x|x9 或 x-9.5已知函数是定义在（0，+）上的减函数，且满足 f（xy）f（x）f（y） ，；)(xf1)31(f（1）求；（2）若，求 x 的取值范围；) 1 (f2)2()(xfxf解：解：（1）令，则；1 yx0) 1 () 1 () 1 () 1 (ffff，（2），)91()31()31(112fff)91()2(fxxf由为在（0，+）上的减函数，得)(xf。32213221,32213221, 2, 0,91)2(, 02, 0xxxxxxxx6已知 f(x)在定义域（0，+）上为增函数，且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, 试解不等
8、式 f(x)+f(x-8)2. 解解 根据题意，由 f(3)=1,得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 又 f(x)+f(x-8)=fx(x-8),故 fx(x-8)f(9).f（x）在定义域（0,+）上为增函数，解得 8x9. , 9)8(080xxxx ，7已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足 f（0）0，f（xy）f（x）f（y） ，且当 x0 时，f（x） 1，求证： （1）当 x0 时，0f（x）1； （2）f（x）在 xR 上是减函数. 分析：分析：（1）先令 xy0 得 f（0）1，再令 yx； (2)受指数函数单调性的启发：由 f（xy）f（x）f（y）可得 f（xy）
9、，)()( yfxf进而由 x1x2，有f（x1x2）1.)()(21 xfxf题型五题型五 三角函数型的抽象函数三角函数型的抽象函数 1已知函数 f(x),g(x)在 R 上有定义，且 f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)，若 f(1)=f(2)0，求 g(1)+g(-1)的值。 分析：分析：由于 f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)的结构非常类似于两角差的正弦公式，而正弦函数为奇函数，所 以本题只要证明 f(x)为奇函数便可迎刃而解。 解：解：设 x,s,tR，且 x=s-t,由于 f(-x)=f(t-x)=f(t)g(s)-f(s)g(t)=-f(s)g(t)-f
10、(t)g(s)=-f(s-t)=-f(x)，所以 f(x)为 奇函数。 于是有 f(2)=ff1-(-1)=f(1)g(-1)-f(-1)g(1)=f(1)g(-1)+f(1)g(1)=f(1)g(-1)+g(1)，由于 f(1)=f(2)0，故上 式变形得 g(-1)+g(1)=1.2已知函数f(x)满足f(x+1)= ，且f(2)=2006，求f(2006)的值。)(1)(1 xfxf 分析：分析：由 f(x+1)= 的形式，不难联想到正切函数，如 tan(x+)= ，而此函数是以)(1)(1 xfxf 4 xx tan1tan1 T=4= 为周期，所以不难猜想 f(x)=tanx,其周期
11、为 4，故本题最关键是4 4求出 f(x)的周期。解：解：由于 f(x+2)=f(x+1)+1= = - ) 1(1) 1(1 xfxf)(1)(11)(1)(11xfxfxfxf)(1 xf所以 f(x+4)=f(x+2)+2=- =f(x)2(1 xff(x)是以 4 为周期的周期函数，于是 f(2006)=f(2)=(2006). 3已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有 f（x1x2）；)()(1)()(1221 xfxfxfxf f（a） 1（a0，a 是定义域中的一个数） ； 当 0x2a 时，f（x）0. 试问：（1）f（x）的
12、奇偶性如何？说明理由； （2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：分析：（1）利用 f （x1x2） f （x1x2），判定 f（x）是奇函数； (2)先证明 f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.4已知定义在 R 上的函数满足： f x（1）值域为，且当时，；1,10x 10f x （2）对于定义域内任意的实数，均满足： 1f mf nf mnf m f n, x y试回答下列问题：（）试求的值；（）判断并证明函数 f x的单调性； 0f（）若函数 f x存在反函数，求证： g x21111 511312ggggnnL讲解讲解：（）在中，
13、令，则有即： 1f mf nf mnf m f n0,0mn 0 10f mff mf m f 100f mf m ff mf也即： 2010ff m由于函数的值域为，所以，所以 f x1,1 210f m 00f（）函数 f x的单调性必然涉及到，于是，由已知， f xfy 1f mf nf mnf m f n我们可以联想到：是否有？（） 1f mf nf mnf m f n这个问题实际上是：是否成立？ fnf n 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在 f x fxf x与 00f中，令，得 1f mf nf mnf m f nnm 0f mfm所以，函数为奇函数故（）式
14、成立 f x所以， 1f mf nf mnf m f n任取，且，则，故且所以，12,x xR12xx210xx210f xx 211,1f xf x 21212110f xf xf xxf xf x所以，函数在 R 上单调递减 f x（）由于函数在 R 上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数 f x f x g x的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时， g x g x1,110x 0g x 为了证明本题，需要考虑的关系式 g x在（）式的两端，同时用作用，得：，g 1f mf nmngf m f n令，则，则上式可改写为： ,f mx f ny ,mg xng y 1xyg xg ygxy不难验证：对于任意的
