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1、芝罘区数学点、直线、平面之间的位置关系芝罘区数学点、直线、平面之间的位置关系必修二第必修二第 2 章习题（带答案）章习题（带答案）一、选择题1设 ，为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则 lm；若 lm，则那么( )A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C都是真命题D都是假命题2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )ABD平面 CB1D1BAC1BDCAC1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1角为 603关于直线 m，n 与平面，有下列四个命题：m，n且，则 mn；m，n且，则mn；m，n且，则 mn；m，n且，则m
2、n其中真命题的序号是( ) AB CD4给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线 l1，l2与同一平面所成的角相等，则 l1，l2互相平行若直线 l1，l2是异面直线，则与 l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1B2C3D45下列命题中正确的个数是( )(第 2 题)若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点 A0 个
3、B1 个C2 个D3 个 6 两直线 l1与 l2异面，过 l1作平面与 l2平行，这样的平面( )A不存在B有唯一的一个C有无数个D只有两个7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )A90B60C45D30 8下列说法中不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一
4、个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( ) A4 B3 C2 D110异面直线 a，b 所成的角 60，直线 ac，则直线 b 与 c 所成的角的范围为( )A30，90 B60，90 C30，60D30，120二、填空题二、填空题11已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 12P 是ABC 所在平
5、面外一点，过 P 作 PO平面，垂足是 O，连PA，PB，PC(1)若 PAPBPC，则 O 为ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，则 O 是ABC 的 心；(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则 O 是ABC 的 心；(4)若 PAPBPC，C90，则 O 是 AB 边的 点；(5)若 PAPBPC，ABAC，则点 O 在ABC 的 线上13如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为AF，AD，BE，DE 的中点，将ABC 沿DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 14直线 l 与平面 所成角
6、为 30，lA，直线 m，则 m 与 l 所成角的取值范围是 15棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d1，d2，d3，d4，则 d1d2d3d4的值为 J(第 13 题)16直二面角l的棱上有一点 A，在平面，内各有一条射线AB，AC 与 l 成 45，AB，AC，则BAC 三、解答题三、解答题17在四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：BCAD；(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面角 ABCD 的正弦值；(3)设二面角 ABCD 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体 ABCD 的体积最大(不要
7、求证明)18 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点，连结 ED，EC，EB 和 DB(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDBC 的正切值.19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD 中，ADBC，ABC90，SA面 ABCD，SAABBC，AD21(1)求四棱锥 SABCD 的体积；(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值(第 18 题)(第 17 题)(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是所求二面角的棱.)20*斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的距离等于 6，求这个棱
8、柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)(第 20 题)第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线 n，l，m，且 ln，mn，则 ml，显然平面不垂直平面 ，(第 1 题)故是假命题；命题显然也是假命题，2D 解析：异面直线 AD 与 CB1角为 453D 解析：在、的条件下，m，n 的位置关系不确定4D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案 D5B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有无数点在平面 ABCD 外，但 AA1与平面 ABCD 相交，不正确；A1B
9、1平面 ABCD，显然 A1B1不平行于BD，不正确；A1B1AB，A1B1平面 ABCD，但AB平面 ABCD 内，不正确；l 与平面 平行，则 l 与无公共点，l 与平面内的所有直线都没有公共点，正确，应选 B (第 5 题)6B解析：设平面 过 l1，且 l2，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ，与 的交线 l3l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C解析：当三棱锥 DABC 体积最大时，平面 DACABC，取 AC 的中点 O，则DBO
10、是等腰直角三角形，即DBO458D解析：A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了9B 解析：因为正确，故选 B10A解析：异面直线，所成的角为 60，直线 ，过空间任一点 P，作abca直线 aa， bb， cc. 若 a，b，c 共面则 b 与 c 成 30 角，否则 与 所成的角的范围为(30，90，所以直线 b 与 c 所成角的范围为30，bc90 二、填空题二、填空题11313212SSS解析：设三条侧棱长为 a，b，c则 abS1，bcS2，caS3 三式相乘：21 21 21 a2
11、 b2 c2S1S2S3，81 abc23212SSS 三侧棱两两垂直， Vabc31 21 313212SSS12外，垂，内，中，BC边的垂直平分解析：(1)由三角形全等可证得 O 为ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在BAC 的平分线上1360解析：将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为601430，90解析：直线 l 与平面所成的 30
12、的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在内适当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l 所成角的的最大值为 901536解析：作等积变换：(d1d2d3d4)h，而 h43 3143 31361660或 120解析：不妨固定 AB，则 AC 有两种可能 三、解答题三、解答题17证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DOABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形，AOBC，DOBC，且 AODOO，BC平面 AOD又 AD平面 AOD，BCAD (第 17 题)解：(2)由(1)知AOD 为二面角 ABCD 的平面角，设AOD，则过点 D 作 DEAD，垂足为 EBC平面 ADO，且 B
13、C平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABCAO，DE平面 ABC线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE3又 DOBD2，233在 RtDEO 中，sin，DODE 23故二面角 ABCD 的正弦值为 23(3)当 90时，四面体 ABCD 的体积最大18证明：(1)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为D1C1的中点DD1E 为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC45，即 DEEC90DEC在长方体 ABCD中，BC平面，又 DE平面，1111DCBA11DCCD11DCCDBCDE又，DE平面 EBC平面 DEB 过 DE，平面CBCECIDEB平面 EBC(2)解：如图，过 E 在平面中作11DCCDEODC 于 O在长方体 ABCD中，1111DCBA面 ABCD面，EO面 ABCD过 O 在11DCCD平面 DBC 中作 OFDB 于 F，连结EF，EFBDEFO 为二面角EDBC 的平面角利用平面几何知识可得OF， (第 18 题)51又 OE1，所以，tanEFO519*解：(1)
