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1、第第 1 1 讲讲 集合集合1集合的有关概念： （1）集合：某些指定对象的全体 （2）集合中元素三大特征：元素的互异性；元素的无序性；元素的确定性 （3）集合的分类：有限集；无限集 （4）集合的表示：列举法；描述法；图象法；韦恩图法 2元素与集合、集合与集合之间的关系 （1）元素与集合：或 （2）集合与集合之间的关系 、包含关系、子集：如果，则是的子集，记作或BxAxABBA AB 性质：，AA A子集个数：如果一个集合中含有 n 个元素，那么它的子集个数为个；真子集个数为n2 一 1 个；非空真子集个数为一 2 个n2n2 、全集：如果集合含有所研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一
2、个S 全集，全集通常用表示U、相等关系： 对于两个集合、，如果，且，那么就说集合和ABBA AB A集合相等，记作BBA 、真子集关系：对于两个集合、，如果，且就集合是集合的ABBA BA AB真子集、运算关系、交集： ；、并集BAIBxAxx且,BxAxxBA或,U、补集AxSxxACS且,3集合与集合之间的逻辑关系 （1）交集的运算性质 ，,ABBAII,AAAIIAABAIBBAIBAABAI（2）并集的运算性质，； ，；ABBAUUAAAUUAABAUBBAUABABAU（3）补集的运算性质：，AACCUU)(UACAUUACAUI（4）分配律，结合律：，；CBACBAUUUU)()(
3、)()(CBACBAIIII，)()()(CABACBAIUIUI)()()(CABACBAUIUIU（5）反演律（摩根法则），BCACBACUUUUI)(BCACBACUUUIU)(（6）传递性：若集合，则BA CB CA （7）并集、交集中元素个数公式： BABABAIUcardcardcardcard第第 2 2 讲讲 常用逻辑用语常用逻辑用语1命题的概念： （1）定义：可以判断真假的语句叫做命题；用语言、符号或式子表达的而且能够判断其真 假的语句叫做命题关于数学内容的命题叫做数学命题 （2）构成：一个命题是由题设（条件）和结论两部分构成的 （3）真假命题：命题从正确与否来分，可分为真命
4、题与假命题 2命题与数学中的定义、公理、公式、定理和关系数学中定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：（1）命题有真假之分，而定理都是真的；（2）命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理 3逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”“或” 、 “且” 、 “非”的含义在集合中分别相当于“并集” 、 “交集” 、 “补集” 4简单命题与复合命题： （1）简单命题：不含逻辑联结词（“或” 、 “且” 、 “非” ）的命题叫做简单命题（2）复合命题：由简单命题与逻辑联结词（“或” 、 “且” 、 “非” ）构成的命题叫做复合命题5真值表 6命题的四种形式及相互关系（1）命题的四种形式 原
5、命题：若则；逆命题：若则；否命题：若则；逆否命题：若pqqppq 则qp注意：一个命题，一定要准确找出其条件和结论交换原命题的条件和结论，所得命题 是原命题的逆命题否定命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题否命题不是 对原命题的否定（如命题的否定是非，只是对否定命题的结论 ） 交换命题的条件和pp 结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题（2）四种命题的关系 注意：两个命题是条件与结论换位的，称为互逆命题；两个命题是条件与结论换质的， 称为互否命题；两个命题是条件与结论既换位又换质的，称为互为否逆命题 原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系 注意区分“命题的否定”与“否命题”
6、是两个不同的概念命题的否定的否定是非，pp 记作，一般只是否定命题的结论；否命题是对原命题“若则”既否定它的条件，pppq 又否定它的结论 一个命题的真假与其它三个命题的真假关系： （）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（）原命题为真，它的否命题不一定为真； （）原命题为真，它的逆否命题一定为真；（）逆命题为真；否命题一定为真7充分条件与必要条件如果 A 成立，那么 B 成立，即 AB，这时就说条件 A 是 B 成立的充分条件，B 叫做 A 的必要条件如果 A 既是 B 的充分条件，又是 B 的必要条件，即 AB，且 B A，可记作 AB， 那么 A 叫做 B 成立的充分而且必要条件，简称充要
7、条件8充分条件与必要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题中条件与结 论之间关系的（1）从逻辑推理观点看，对于命题“若则”：pq若，且，则是的充分而不必要条件；pqqppq若，且，则是的必要而不充分条件；qppqpq若，且，则是充要条件；pqqppq若，且，则是的既不充分也不必要条件pqqppq注意：充要条件的同义语：“等价于” 、 “当且仅当” 、 “必需且只需” 、 “反过 来也好”等；数学中的每一个数学概念都是用充要条件来定义的，反过来，每个数学概念都可以 看成充要条件，当作判断依据或概念所具有的性质（2）从集合观点看，建立命题、相应的集合：成立 ，
8、：pqp)(|xpxA q成立 ，那么：若，则是的充分条件；若（表示真子集）)(|xqxB BA pqBA ，则是的充分而不必要条件；若，则是的必要条件；若，则是pqAB pqAB p的必要而不充分条件；若，则是充要条件；若，且（表示qBA pqBA AB 不是子集） ，则是的既不充分也不必要条件pq （3）判断充要条件的方法： 定义法；逆否法；集合法逆否法：若，则是的必要条件，是的充分条件；BAABBA若，且，则是的必要非充分条件；BABAAB若，则与互为充要条件；BAAB若且，则既不是的充分条件，也不是的必要条件BA BAABB（3）一些常用下面叙述的词语及它的否定词语：正面词语=是都是至
9、多有一个至少有一个任意的否定词语不是不都是至少有二个一个也没有某个正面词语所有的或pq且 pq一定否定词语某些且pq或pq不一定9全称量词与存在量词：（1）定义： （2）常见的全称量词有：“任意一个” 、 “一切” 、 “每一个” 、 “都” 、 “任给” 、 “所有的” 等 （3）常见的存在量词：“存在一个” 、 “至少有一个” 、 “有些” 、 “有一个” 、 “某个” 、 “有的” （4）全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题.第第 3 3 讲讲 函数的概念与解析式函数的概念与解析式1函数的定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某个对应关系，使对于集合 A 中的 f（每一
10、个元素） ，在集合 B 中都有 （惟一元素）和它对应，那么xy就称：为从 A 到 B 的一个 （函数） ，记作 （）fBA )(Axxfy2对于函数，其中叫做自变量，的取值范围 A 叫做 （函)(Axxfyxx数的定义域） ；与的值相对应的值叫做 （函数值） ，函数值的集合xy叫做函数的 （值域） | )(Axxf3函数的三要素： 、 、 （定义域；对应法则；值域） 4函数的三种表示： 、 、 （列表法、解析法和图象法；分段函数） 5在函数的定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数x 通常叫 （分段函数） 6分段函数的定义域是各段定义域的 （并集） ，其值域是各段值域
11、的 （并集） 7映射的概念：设 A、B 是两个非空数集，如果按照某个对应关系，使对于集合 A 中的f每一个元素，在集合 B 中都有 （惟一的确定元素）与之对应，那么，这样单值对应叫做从 A 到 B 的 （映射）记作 （：） fBA 8由映射的定义可以看出，映射是 （对应）概念的推广，函数是一种特殊的映射， 要注意构成函数的两个集合 A、B 必须是 （非空数集） 注意： （1）函数的解析式=对应法则+定义域； （2）不管用什么方法求解析式一定要注意的它的取值范围； （3）研究函数必须具有“定义域意识”即不论研究什么函数，首先要研究其定义域（解题 亦如此）第第 4 4 讲讲 函数的值域与最值函数的
12、值域与最值1函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域，都应考虑其定义 域，求函数值域常用方法如下： （1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可直接由函数的解析式应用不等式 的性质，直接观察得出函数的值域（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域， 若函数解析式中含有根式，当根式里是一次式时用代数换元，当根式里是二项式时，用三 角换元（3）反函数法：利用函数与其反函数的定义域和值域间的关系，通过求反函)(xf)(1xf数的定义域而得到原函数的值域，形为的函数值域可采用此法求)0()(abaxdcxxf得 （4）配方法：对于二次函数
13、或与二次函数有关的函数的值域可考虑用配方法（5）不等式法求值域：利用基本不等式可以求某些函数的值), 0(,(2baabba域，不过应注意条件“一正二定三相等” ，有时需用到平方等技巧（6）判别式法：把变形为关于的方程，利用“”求值域其题型特征)(xfy x0是解析式中含有根式或分式其中是分式时分母恒不为零 （7）利用函数的单调性求值域：当能够确定函数在其定义域（或某个定义域的子集上）的 单调性时可采用单调性法求值域 （8）数形结合法求函数值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出 函数的值域，即以数形结合求函数的值域第第 5 5 讲讲 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性
14、1、奇偶性的定义：对于函数：（1）如果对于函数定义域内任意一个都有)(xfx，那么函数就叫做奇函数；)()(xfxf)(xf（2）如果对于函数定义域内任意一个都有，那么函数就叫做偶函x)()(xfxf)(xf数 2、判断函数奇偶性的步骤：（1）确定函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则可下结论为非奇非偶函数；如 果定义域关于原点对称；（2）看或是否成立而定)()(xfxf)()(xfxf注：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；)(xf（2）或是定义域上的恒等式；)()(xfxf)()(xfxf（3）奇偶性的定义是判断函数奇偶性的主要依据；（4）判断函数奇偶性的等价形式：、)()(xfxf)(2)()(xfxfxf、（） ；)(2)()(xfxfxf1)()( xfxf0)(xf)()(xfxf、（） 0)()(xfxf)(2)()(xfxfxf1)()( xfxf0)(xf3、奇偶函数的图象性质：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之亦真；偶函数的图 象关于轴成轴对称图形，反之亦真y4、如果是偶函数，那么，反之亦真)(xf|)(|)(xfxf|)|(xf 第第 6 6 讲讲 函数的单调性函数的单调性1单调性的定义： 一般地，对于给定区间上的函数：（1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当2
