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1、第九章数列第九章数列1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式，并能解决简单的实 际问题 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际 问题数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的 比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式的应用是必考 内容，数列
2、与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点 从解题思想方法的规律着眼，主要有： 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等 差、等比数列中的“知三求二”问题； 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题； 待定系数法、分类讨论等方法的应用第第 1 课时课时 数列的概念数列的概念1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整 数 N*或其子集1，2，3，n的函数 f(n)数列的一般形式为 a1，a2，an，简记 为an，其中 an是数列an的第 项 2数列的通项公式 一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 anf(n)来表示，考纲导读
3、考纲导读基础过关基础过关知识网络知识网络高考导航高考导航我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 3在数列an中，前 n 项和 Sn与通项 an的关系为：na 21nn an4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式， 再取 n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推 关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式例例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值，写出数列的一个通项公式
4、 ，；312 534 758 9716 1，2，6，13，23，36，； 1，1，2，2，3，3，解：解： an(1)n) 12)(12(12 nnn an)673(212 nn（提示：a2a11，a3a24，a4a37，a5a410，anan113(n2) =3n5各式相加得)673(21)43)(1(211)53(10741 12nnnnnanL 将 1，1，2，2，3，3，变形为,213,202,211,206,215,204L4) 1(12 22) 1(1 11 nnnnn a变式训练变式训练 1.某数列an的前四项为 0，0，则以下各式：22 an1(1)n an22n)( 11 a
5、n )(0)(2 为为为为为为 nn其中可作为an的通项公式的是（ ） AB CD典型例题典型例题解解：D 例例 2. 已知数列an的前 n 项和 Sn，求通项 Sn3n2 Snn23n1 解解 anSnSn1 (n2) a1S1解得：an ) 1(1)2(321nnn an )2(22) 1(5 nnn变式训练变式训练 2：已知数列an的前 n 项的和 Sn满足关系式 lg(Sn1)n，(nN*)，则数列an 的通项公式为 解：解：当 n1 时，a1S111；当 n2 时，, 110101) 1lg(n nn nnSSnSanSnSn110n10n1910 n1故 an)2(109) 1(1
6、11nnn例例 3. 根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an11 (n2) a11，an (n2)1 13 n na a11，an (n2)11 nann解：解： an2an11(an1)2(an11)(n2)，a112故： a112n，an2n1an（anan1）（an1an2）（a3a2）（a2a1）a13n13n23331) 13(21n(3)nn aann11an121 1 1232211nn nnaaa aa aa aannnnnnLnnn1121 23L变式训练变式训练 3.已知数列an中，a11，an1(nN*)，求该数列的通项公式22 nn aa解
7、：方法一解：方法一：由 an1得22 nn aa，是以为首项，为公差的等差数列21111nnaana1111a211(n1),即 anna1 21 12 n方法二：方法二：求出前 5 项，归纳猜想出 an，然后用数学归纳证明12 n例例 4. 已知函数2x2x，数列an满足2n，求数列an通项公式)(xf)(log2naf解：解：nafnana n222)(log2log2log 2得naann21nnan12变式训练变式训练 4.知数列an的首项 a15前 n 项和为 Sn且 Sn12Snn5（nN*） (1) 证明数列an1是等比数列； (2) 令 f (x)a1xa2x2anxn，求函数
8、 f (x)在点 x1 处导数 f 1 (1) 解：解：(1) 由已知 Sn12Snn5， n2 时，Sn2Sn1n4，两式相减，得： Sn1Sn2(SnSn1)1，即 an12an1 从而 an112(an1) 当 n1 时，S22S115， a1a22a16, 又 a15， a211 2，即an1是以 a116 为首项，2 为公比的等比数列.111 nn aa(2) 由(1)知 an32n1 a1xa2x2anxn)(xf a12a2xnanxn1)( xf从而a12a2nan) 1 ( f (321)2(3221)n(32n1) 3(2222n2n)(12n)3n2n1(22n)2) 1
9、( nn3(n1)2n162) 1( nn1根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系， 常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等 2由 Sn求 an时，用公式 anSnSn1要注意 n2 这个条件，a1应由 a1S1来确定，最后 看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1anf(n)，f(n)，an1panq，分 nn aa1别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法） 第第 2 课时课时 等差数列等差数列1等差数列的定义： d（d 为常数） 2等差数列的通项公式： ana1 d anam d 3等差数列的前 n 项和公式：基础过关基础过关归纳小
10、结归纳小结Sn 4等差中项：如果 a、b、c 成等差数列，则 b 叫做 a 与 c 的等差中项，即 b 5数列an是等差数列的两个充要条件是： 数列an的通项公式可写成 anpnq(p, qR) 数列an的前 n 项和公式可写成 Snan2bn (a, bR) 6等差数列an的两个重要性质： m, n, p, qN*，若 mnpq，则 数列an的前 n 项和为 Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列例例 1. 在等差数列an中， (1)已知 a1510，a4590，求 a60； (2)已知 S1284，S20460，求 S28； (3)已知 a610，S55，求 a8和 S8解解：(1)方法一
11、： 38382904410141145115dadaadaaa60a159d130方法二：，由 anam(nm)da60a45(6045)38 15451545aa mnaadmnd901513038(2)不妨设 SnAn2Bn， 172460202084121222BABABASn2n217n S28228217281092 (3)S6S5a651015，又 S62)10(6 2)(6161aaa15即 a152)10(61a而 d31616aaa8a62 d16S8442)(881aa变式训练变式训练 1.在等差数列an中，a53，a62，则 a4a5a10 解：解：da6a55，a4a5
12、a1049)2(72)(7 5104daaa典型例题典型例题例例 2. 已知数列an满足 a12a，an2a（n2） 其中 a 是不为 0 的常数，令 bn 12naaaan1 求证：数列bn是等差数列 求数列an的通项公式解：解： an2a (n2) 12naa bn (n2)(111112aaaaaaaaannnn bnbn1 (n2)aaaaaaannn11 )(111 数列bn是公差为的等差数列a1 b1aa 11 a1故由得：bn(n1)a1 a1 an即： 得：ana(1)aan1 an n1变式训练变式训练 2.已知公比为 3 的等比数列与数列满足，且， nb na*,3Nnbn
13、a n11a（1）判断是何种数列，并给出证明； na（2）若，求数列的前 n 项和11nnnaaC nC解：解：1），即 为等差数列。111 1333,1 3nnnna aan nna nbaab na（2）。11111111111,11nn nnnnnnnCSna aaaaaa 例例 3. 已知an为等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列前 n 项和。求 TnnSn解：解：设an首项为 a1公差为 d，由 7521415157267711517daSdaS 121 da Sn nn25 21225 21nnSn Tn311Snn411 412变式训练变式训练 3两等差数列an、bn的前 n 项和的比，则的值是 （
