《高等数学第二讲函数的连续性中值定理积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第二讲函数的连续性中值定理积分（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第二讲第二讲 函数的连续性函数的连续性 中值定理中值定理 积分积分一连续性定理：定理：设在上 Riemann 可积，则( )f x , a b，使在处连续。( ,) , ()a b ab 0( ,)x ( )f x0xx证明：作分划。因在010:nxxxxnL( )f x上 Riemann 可积，取，存在，使 , a b10214n 1(1)(1)11()2nii iMmn（其中，以下类似定义。 ） 1,1,(1)(1) ( ),inf ( )iiiiiixxxxxxMsupf xmf x所以 ，因此至少有三个 ，使1(1)(1)1 1 1()22nii inMmni。取使。作区间(1)(1
2、)1iiMm110,in 11(1)(1)1iiMm，则在上 Riemann 可积。取 11111,iixx ( )f x11, ，存在，使11 220224n 1(2)(2)111121()4nii iMmn于是，因此至少有三个 ，使2(2)(2)2212()42nii innMmi。(2)(2)1 2iiMm取使。如此继续可以得到一个闭区间套220,in 22(2)(2)1 2iiMm11 ,nn LL2使得（1）；（2）在上的上下确界满足4nnn( )f x,nn。由闭区间套定理知。下证在( )( )1nn iiMmn0 1,nn nxI( )f x处连续。0xx事实上，有。而由上述构造
3、过程知，010, 1,n 01 n有，0, 0000(,),nnxx此时00()() 0 01( )()nn iif xf xMmn故在处连续。( )f x0xx例 1若可积，则在连续点处恒等于 0。( )f x2( )0( )bafx dxf x证明：必要性：若在连续，但，则0,( )xf x0x0()0f x有，于是0( ,)( , )xa b ( ,),( )0xf x ，矛盾。22( )( )0bafx dxfx dx充分性：（取连续点） 。221( )lim()0nb ianibafx dxfn i例 2求连续函数，使得且。( )f x( )0f x 2 0sin( )( )1cos
4、xtfxf tdtt（答案：。 ）1( )ln cos12f xx 例 3问取什么值时函数1sin,0( ) 0,0xxf xx x 3（1）处处连续；（2）处处可导；（3）导函数连续？（答案：（1）；（2）；（3）。 ）012例 4设在上有定义，在处可导，且( )f x , a b0( , ),( )xa bf x0xx满足（1）；（2），则, nnab0nnaaxbb00,nnax bx。0()()lim()nnnnnf bf afxba分析：+0 00 0()()()()()()nnn n nnnf bf af bf xfxfxbabx，其中。0 0 0()()()n n nf af x
5、fxax00,nn nn nnnnbxax baba二中值定理例 1设在上可导，且。证明：对任意正数，必)(xf0,11) 1 (, 0)0(ff, a b存在内的两个不同的数与，使。 （浙江 2003 年(0,1)bafb fa)()(赛题）证明：设 01，令 C0=，则 0 C01。因且在ba baa 1) 1 (, 0)0(ff)(xf0, 1上连续，由介值性定理存在，使得= C0。现在在0,c上利用拉) 1 , 0(c)(cf格朗日中值定理，存在，有), 0(c。cbaa cc cfcff)(00)0()()(0 同理在c,1上利用拉格朗日中值定理存在，有( ,1)c。)1)(11 1
6、)() 1 ()(0 cbab cc ccfff于是 。bacbacbafb fa)1)()()()(命题得证。4三积分例 1已知在0，1上连续，。求证：( )f x1100( )0,( )1f x dxxf x dx 0，1使得。( )4f证明：假设命题不成立，即有，由已知易得0,1,x ( )4f x 。101() ( )12xf x dx（1）当时，与在0，1上连续，矛盾。( )4f x ( )f x10( )0f x dx （2）当不恒等于 4 时，即有这样的点使，那么( )f x( )4f x =110011() ( )|() ( )|22xf x dxxf xdx1 2 01()|
7、( )|2xf xdx，矛盾。1 1 21()|( )|2xf xdx112102114()4()|122x dxxdx所以命题成立，即0，1使得。 ( )4f例 2 求满足下列性质的曲线 C：设为曲线上任一点，000(,)pxy22yx则由曲线所围成区域的面积 A 与曲线22 0,2,xxyxyx和 C 所围成区域的面积 B 相等。 （浙江 2003 年赛题）2 0,2yyyx例 3 证明：。 （浙江 2002 年赛题）22 0sin()0x dx分析：令。2xu例 4 证明：。 （浙江 2002 年赛题）20042 20031|sin|2003t dt 分析：令，再利用积分第二中值定理。2
8、xu5例 5。 （浙江 2003 年赛题）2401xdxx分析：令。1ux例 6计算2 0lnsinIxdx 分析：令。2xt补充的例题见补充的例题见数学分析中的典型问题与方法数学分析中的典型问题与方法一书。一书。课外练习题：课外练习题：1设连续，且当时，求( )f x1x 20( )( )12(1)xxxef xf t dtx。( )f x（浙江 2002 年赛题）2求积分。 （浙江 2002 年赛题）12 1 21(1)xxxedxx3设在上连续，且， ，)(xf 1,0100d)(xxf100d)(xxxf，证明：存在，使。1010d)(xxfxn101d)(xxfxn 1,0) 1(2
9、)(nfn4设函数在上连续，在内可微，且，证明存在( )f x1,21,2( )0fx，使得：. , ,1,2 ( ) ( )f f 5已知当时，有，0x 21( )(1) ( )1xfxx f x( )( )g xf x，证明：。(0)(0)0fg11114ngn6设非负函数在上连续，且单调上升，与直线( )f x0,10,1 ,( )tyf x及围成图形的面积为，与直线及围(1)yfxt1( )S t( )yf x(0)yfxt成图形的面积为.2( )S t6 证明：存在唯一的,使得.(0,1)t12( )( )S tS t 取何值时两部分面积之和取最小值？ t7计算 0ln(sin )xx dx8设，其中为连续函数，求，并讨论的连tan20( )()xF xf txdt( )f x( )F x( )F x续性。
