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1、1第一章第一章 函数的极限与函数的连续性函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求一、学习目的与要求 1、了解函数极限的 定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要三、内容提要 1、数列极限与函数极限 （I）概念综述 类型定义式说明 axf xx)(lim0时当),(, 000xxxaxf xx)(lim0时当
2、),(, 000xxx趋 于 定 值 a axf xx )(lim00时当),(, 00xUxo |)(|axf为有0,xa 限值，),(0xUo为 ),(00xx与 ),(00xx之并 axn n lim时当NnN, 0axf x )(lim时当XxX, 0axf x )(lim时当XxX, 0趋 于 无 穷 大axf x )(lim0时当XxX|, 0 |)(|axf将“” 换作 “+”或 “-”时， 则得到正 无穷大， 负无穷大 的定义。（II）极限的主要性质设表示数列变量或函数变量，在同一个极限过程中该极限过程可vu,nx,lim,limBvAu以是数列极限或函数极限中的任一种,A、B
3、、是常数，则极限有以下性质。a运算性质线性规则：vuavaulimlim)lim(乘积规则：vuuvlimlimlim2商规则：)0(limlim/limlimvvuvu比较性质（1）若，则uvulimvlim （2）若，则在某个范围 X 上有ulimvlimvu 有界性质（1）若收敛，则有界nxnx（2）若，则在某个范围 X 上有界。Axu)(lim)(xu存在性质（1）单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 （2）夹逼准则：若，且、趋于 A，则亦趋于 A（三uvuv 个变量、极限过程相同） 。uv注 的形式与极限过程相关，当、是数列时，是某个自然数；XuvnnX|NN当、是函数变量，极限
4、过程是时，极限过程是uv0xx),(00xxX，其余类推。),(,00xUXxxo 时（III）基本极限公式，ennnnn )11 (lim, 01lim)0( 1limlim, 0)1(lim aannnnnnnn不存在nnnnnn) 1(lim,21)(lim2 ,)11 (lim,)1 (lim10exexxxxx , 11lim, 1sinlim 00 xe xxxxx, 01sinlim, 1)1ln(lim 00xxxxxx不存在， 不存在。x xe10lim xxx|lim 0（IV）极限之间的联系（1）)(lim)(lim)(lim000xfAxfAxf xxxxxx（2）.)
5、(lim)(lim)(limAxfxfAxf xxx （3）对任意趋于的数列，有 Axf xx)(lim00xnxAxfnn )(lim32无穷小量与无穷大量（I）概念 无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量 无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量表示是较高阶的无穷小量，即)(vou uv0/limvu表示与是同阶的无穷小量，即是非零常数。)(vOu uvaavu,/lim表示与是等价无穷小量，即vu uv1/limvu无穷小的主部 设为常数，若，则说 ra, 0, 0ra)0)()(xxoaxxurr)(xuaxr是的主部，称作基本无穷小，称作关于的阶数。xrux （II）运算性质
6、设、是无穷小量，为有界变量，为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，uvB有（1）均是无穷小量。1,vuuBvu（2）均是无穷大量。)0(1,uuBu（III）等价无穷小替换原理设，则。vu vuvulimlim,limlim（IV）常用等价替换公式 在寻求无穷小量的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中、可以是函uuv数变量如，也可以是数列，如等)(),1(lnsinxexxx nnxnnxnn1ln,1等） ；积与商 若，则uvvuvu/,和 , 1,)(, uuluuuou u若若常用公式 设，则0uueuuuuuu1)1ln(arctanarcsintansin,21cos12u
7、u),(1)1 (是常数aauua3 61sin),0(ln1uuuaauau3函数的连续性 （I）概念在一点连续 函数在的某个领域)(xf0x)(xf0x,),(00上有定义xx4。)()(lim0 0xfxf xx 且在一点左（右）连续 函数在的某个左（右）邻域)(xf0x)(xf0x上有定义，且),)(,(0000xxxx).()(lim)()(lim00 00xfxfxfxf xxxx 在连续 函数内的每个点连续。)(xf),(ba),()(baxf在在上连续 函数在连续，且在左端点右连续，右端点左连续。)(xf,ba)(xf),(baab间断点 当不成立时，称于处间断，间断点可分为以
8、)()(lim0 0xfxf xx )(xf0xx 0x下几种类型： 名称 特 征 可去间断点不等)()()(000xfxfxf但与第一类跳跃间断点与)(0xf均存在)(0xf)()(00xfxf第二类与至少有一个不存在)(0xf)(0xf（II）主要性质（1）若均在点连续，则 也)(),(xgxf0x),()(xgxf),()(xgxf)0)(),(/ )(0xgxgxf在点连续；若有定义，连续，在连续，则0x)(tf0)(ttt在)(xf)(00tx在连续。)(tf0tt （2）局部保号性 若在连续,的某邻域)(xf0x00)(xaxf则在axfxU)(),(0上o（3）若的反函数为，且在
9、连续，则 连)(xfy )(1yfx)(xf0x)()(001xfyyf在续。 （4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。 （III）闭区间上连续函数的性质设函数在闭区间上连续，则有)(xf,ba（1）在上有界并取得最大值与最小值（最值定理） 。)(xf,ba（2）若则存在（零点存在定理） 。, 0)()(bfaf0)(),(fba使（3）若实数在之间，则存在（介值定值） 。A)(),(bfafAfba)(),(使5（4）上一致连续，即任给,)(baxf在|, 0, 0yxbayx满足当存在时便有。| )()(|yfxf四、思考题四、思考题1、在函数极限的定义中，回答下列问题:Axf xx )(lim0（1）为什么 要任意给定？ （2）对于给定的 ，对应的 是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？（3）定义中两个不等式 00，存在 =2，当 00 时，它在 x=2 的任何邻域内均有异于 x=2 而属于函数定义4sin)(2xxf域的点，所以 x=2 是函数的间断点。又由不存在，所以 x=2 是函数)(xf4sinlim22xx的第二类间断点。)(xf10当 x0，所以 )(xf)(xff(0)f(3)0，由闭区间上连续函数的零点定理知, 在（0,3）内至少存在一点，使 f()=0，即方程 x=sinx+2 至少有一个不超过 3 的正根。
