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1、第一章第一章 函数与极限函数与极限 授课题目（章节）授课题目（章节）1.3 函数的极限 教学目的与要求教学目的与要求 1. 理解函数极限的概念；明确极限是描述变量的变化趋势；了解极限的定义中的的含义XN,XN,2. 理解极限的性质 教学重点与难点：教学重点与难点： 重点：函数极限的概念 难点：极限的定义 讲授内容：讲授内容： 1.31.3 函数极限的定义函数极限的定义 上一节讲了数列的极限。 自变量趋于无穷大时函数的极限 这种情形与数列的极限相类似，所不同的是，这里 x 是连续变化的，因此定义如下：定义 2：设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数 A,对于任意给定的正)(xfx数(不论它多
2、么小),总存在着正数 X,使得当 x 满足不等式时,对应的函数值Xx 都满足不等式,那么常数 A 就叫做函数当时的极限,记)(xf Axf)()(xfx作或.Axf x )(lim）（当xAxf)(妨此可定义及的情景。xx因为数列可看作自变量为正数 n 的函数：它是函数的极限的一种类型，)(nfxn相对于数列的极限，这节的内容也可称作连续自变量函数的极限。 主要研究两种情形：一、自变量趋于有限值时函数的极限（）0xx 现在来研究当 x 无限接近时，函数无限接近一个常数 A 的情形，需对 x 无限0x点)(xf接近作出确切的描述。)(xf所谓当 x 无限接近时，函数无限接近 A 其意义就是：当
3、x 进入的一个0x点)(xf0x点充分小的邻域内，可以小于任意给定正数（不管它多么小） ，我们用表示上述Axf)(邻域的半径，体现了 x 接近的程度。0x点给出时函数的极限定义如下：0xx 定义 1：设函数的某一去心邻域内有定义.如果存在常数 A,对于任意给定0)(xxf在点的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当 x 满足不等式时,对应的函00xx数值都满足不等式,那么常数 A 就叫做函数时的极限,记)(xf Axf)(0)(xxxf当作.)()()(lim0 0xxAxfAxf xx 当或注意： 1.刻划与接近的程度；刻划与接近的程度；是任给的，随的变)(xfAx0x化而变化；2.，表与
4、的距离小于；0xxx0x由于我们研究的是 x 无限接近时函数的变化趋势，对于处函数的对应0x点)(xf0x点值是不予考虑的，甚至在没有定义也可以，因此定义只要满足的)(xf0x点00xx一切值（不是） 。0xx3.区别 与。Axf xx )(lim0)(0xf4. 是以任意方式趋于0xx 0x 几何意义：对于 ，作两条直线 ，总存在的一个邻域（除外） ，在此0 Ay0x点0x点邻域内函数的图形全部落在这两条直线之内。)(xfy 例 1 证明：)(,lim0为常数CCC xx 证明 ，取，当 时，有 ，0000xx0)(CCAxf。CC xx 0lim例 4 证明211lim21xxx*证明:注
5、意,函数在点 x=1 是没有定义，但是函数当是的极限存在或不存在与它1x并无关系.事实上,，约去非零因子 x-1，就化为 11, 02xx不等式，因此，只要取，那么当时，就有121xx10x2112xx所以 211lim21xxx例 5 证明：当0 时，0x0 0limxx xx *证：0000 01)(xxxxxxxxxAxf，取，当 时，有 ，0,0x00xx0)(xxAxf。0 0limxx xx 单侧极限的概念：上述时函数的极限概念中，x 是既从的左侧也从0xx )(xf0x的右侧趋于的.但有时只能或只需考虑 x 仅从的左侧趋于(记作)的0x0x0x0x0xx情形,或 x 仅从的右侧趋
6、于(记作)的情形.在的情形,x 在的0x0x0xx0xx0x左侧,.在的定义中,把改为,那么 A0xx Axf xx )(lim000xx00xxx就叫做函数当时的左极限,记作)(xf0xx 或.Axf xx )(lim0Axf)(0类似的,在的定义中,把改为,那么 A 就叫Axf xx )(lim000xx00xxx做函数当时的右极限,记作)(xf0xx 或.Axf xx )(lim0Axf)(0右极限与左极限统称为单侧极限. 左、右极限与极限存在的充要条件：Axf xx )(lim0 )(lim0xf xxAxf xx )(lim0例如 设：，研究 。 0,0, 1)(xxxxf)(lim
7、 0xf x解 ， 11lim)(lim 00 xxxfQ0lim)(lim 00 xxf xxQ )(lim 0xf x)(lim 0xf x故：。)(lim 0xf x注 关于左右极限的用法。 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 这种情形与数列的极限相类似，所不同的是，这里 x 是连续变化的，因此定义如下：定义 2：设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数 A,对于任意给定的正)(xfx数(不论它多么小),总存在着正数 X,使得当 x 满足不等式时,对应的函数值Xx 都满足不等式,那么常数 A 就叫做函数当时的极限,记)(xf Axf)()(xfx作或.Axf x )(lim）（当xAxf
8、)(定义 2 可简单地表述为:时有.Axf x )(limXxX当, 0, 0 Axf)(几何意义：作两条直线 ，则总有正数存在，使当 xX 时，函数的图形位于这 Ay两条直线之间。*例 7 证明. 01lim xx证：时，不等式成立.因这个不等式相当于XxX，当要证0, 001 x或 x1 1x由此可知,如果取,那么当成立.这就证明了1X01,1 xXx不等式时. 01lim xxy=0 是函数图形的水平渐近线。一般地说，如果，则直线 y=c，是函数图形的水平渐近线。cxf x )(lim还有，的情形。Axf x )(limAxf x )(lim三、函数极限的性质：定理 1（函数极限的唯一性
9、）：如果存在，则这极限必唯一)(lim0xf xx定理 2（函数极限的局部有界性）:如果,那么存在常数 M0 和,使Axf xx )(lim00得当.Mxfxx）（时，有00*证:因为=A,所以取=1,则时,有)(lim0xf xx当, 000xx,1)()(1AAAxfxfAxf）（记则定理 2 就获证明., 1 AM定理 3（函数极限的局部保号性）:如果,而且,那么存在Axf xx )(lim0)0(0AA或常数,使得当时,有).000xx00)(）（或xfxf如果=A，而且 A0（或 A0，使得当时，)(lim0xf xx00xx有 f (x )0 ( 或 f (x ) 0 )推论：如果
10、在的某去心邻域内而且，那么0x)0)(0)(xfxf或Axf xx )(lim0,)0(0AA或定理 4（函数极限与数列极限的关系）如果极限存在，为函数 f (x)的定义域内任意收敛于的数列，且满足：)(lim0xf xx nx0x，那么相应的函数列必收敛，且)( 0 Nnxxn)(nxf)(lim)(lim0xfxf xxnn1.4 无穷小与无穷大在自变量的一定趋势下，函数的极限可能存在，也可能不存在，在极限存在)(xf的情况下，我们们着重讨论极限为零的情况，在极限不存在的情况下，我们着重讨论函数值的绝对值无限增大的情况（以为例） 。xy1一、无穷小定义 1 如果函数当是的极限为零，那么称函
11、数为)(xfxxx或0)(xf时的无穷小。xxx或0例 1 因为，所以函数为当是的无穷小0) 1(lim 1 x x1x1x因为，所以函数为当是的无穷小01lim 1 xxx1x注：1、无穷小与很小的数。2、零是可以作为无穷小的唯一的常数。 二、无穷小与函数极限的关系定理 1 在自变量的同一变化过程，函数具有极限 A 的中，或xxx0 xf充要条件是，其中是无穷小。 Axf*提问：、两无穷小的和、差、积仍是无穷小？ 、两无穷小的商也是无穷小吗？引出不定式的概念。 三、无穷大定义 2 设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）)(xf0xx如果对于任意给定的正数（不论它多么大） ，
12、总存在正数（或正数） ，只要适MXx合不等式 0（或） ，对应的函数值总满足不等式，0xx Xx )(xfMxf)(则称函数为当时的无穷大。)(xfxxx或0按函数极限定义来说，这时的极限是不存在的。为了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大” ，并记作。如果在无穷大的定义中，)(lim()(lim0 xfxf xxx或把，就记作)()()(MxfMxfMxf或换成)(lim()(lim)()(00 xfxfxxx xxx或例 2 证明 11lim 1xx*证 设0M11lim,1-x1,110,111,111xMMxxMMxMxx这就这证明了就有适合不等式则只要所以，取只要要使x=1 是的图形的铅直渐近线。11 xy一般地说，如果，则直线，是函数图形的铅直渐近线。 )(lim0xf xx0xx 四、无穷大与无穷小的关系 无穷大与无穷小之间存在着互为倒数的关系。定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之， xf xf1如果为无穷小，且0，则为无穷大。 xf xf xf1*提问：、无穷大量是否是无界量？ 、无界量是否一定是无穷大量？ 、两无穷大的比一定是无穷大吗？举例引出不定式的概念。 注：打*号内容为选讲内容。 课外作业：课外作业：P37:1,2,3,4
