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1、第一讲第一讲 导数的概念导数的概念教学内容教学内容 1. 导数的物理与几何模型; 2. 导数的定义; 3. 求导举例; 4. 函数的可导性与连续性的关系. 教学目的与要求教学目的与要求 1. 理解导数的概念及它的几何意义、物理意义; 2. 能用导数的定义求简单函数的导数; 3. 理解可导与函数连续的关系; 4. 会用左、右导数的概念判断分断函数的连续和可导性. 教学重点与难点教学重点与难点 导数的概念及它的几何意义、物理意义; 用左、右导数的概念判断分断函 数的连续和可导性. 教学时数 42.12.1 导数的概念导数的概念一、导数的物理与几何模型一、导数的物理与几何模型 1.1. 变速直线运动
2、的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻t质点的坐标为s s是t的函数 sf(t) 求动点在时刻t0的速度 考虑比值 0000)()( tttftf ttss 这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在 实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令t t00 取比值的极限 如果这个极限存在 设为v 即 00)()( tttftf 00)()(lim0tttftfv tt 这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度 2.2. 平面曲线的切线的斜率平面曲线的切线的斜率 设有曲线C及C上的一点M
3、 在点M外另取C上一点N 作割线MN 当点N沿曲线C趋 于点M时 如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT 直线就称为曲线有点处 的切线 设曲线C就是函数yf(x)的图形 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0f(x0)处的 切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点M外另取C上一点N(x, y) 于是割线MN的斜率为 0000)()(tanxxxfxf xxyy 其中为割线MN的倾角 当点N沿曲线C趋于点M时 xx0 如果当xx 0时 上式的极 限存在 设为k 即00)()(lim0xxxfxfk xx 存在 则此极限k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里ktan 其中是切线 MT的倾角
4、 于是 通过点M(x0, f(x0)且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线 二、导数的定义二、导数的定义1.1. 函数函数在一点在一点处导数处导数)(xfy 0x定义定义 设函数在内有定义，)(xfy ),(0xN当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时；x0xxxx0相应地函数取得增量；y)()(00xfxxfy如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，yx0x)(xfy 0x并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即)(xfy 0x)(0xf . . )(0xf 0lim x xy0lim xxxfxxf )()(00也可记为 , 或 0xxy0xxdxdy0)(xxdxxdf
5、也称函数增量与自变量增量之比是函数在以及为端点的区间上的平平xy y0x0xx均变化率均变化率，导数是函数在点处的变化率，即瞬时变化率瞬时变化率）（0xf )(xfy 0x2.2. 函数函数在一点在一点处导数处导数导函数导函数)(xfy x将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函0x0xxyx0x数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，)(xfy x)(xfy x)(xf 即. .)(xf 0lim x xy0lim xxxfxxf )()(显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数导函数. 导函数xI)(xf x的记号还有, 或 ydxdy dxxdf
6、)(3.3.处导数与导函数的关系处导数与导函数的关系0x函数在点的导数是导函数在点处的函数值即 )(xfy 0x）（0xf ）（xf x0x.）（0xf 0)(xxxf通常，导函数简称为导数 例题例题 11 求函数求函数的导数以及在的导数以及在点的导数点的导数. .2xy 1x4.4.不可导的情形不可导的情形由可导定义，如果的极限不存在，即有下述情况之一，称函数在 0lim xxy )(xfy 点处不可导不可导0x（1）=； （2）无稳定的变化趋势. 0lim xxy 0lim xxy 例题例题 22 （1 1）求函数）求函数在在处的导数处的导数. .xy 0x（2 2）求函数）求函数在在处的
7、导数处的导数. .31xy 0x5.5. 导数定义的不同形式导数定义的不同形式=的具体形式有以下情况，需要学生灵活运用. 0lim xxy )(0xf （1）=； 0lim xxxfxxf )()(00)(0xf （2）=； 0lim hhxfhxf)()(00)(0xf （3）=；0lim xx00)()( xxxfxf )(0xf （4）= 0lim xxxxfxf )()(00)(0xf （5）=. llim )()1(00xflxfl)(0xf 例题例题 33 （1 1）已知）已知存在，求存在，求. .)(0xf 0lim hhhxfhxf)()(00（2 2）已知）已知，在在处连续，
8、求处连续，求. .)()()(xaxxf)(xax )(af （3 3） 计算极限计算极限. .33arctan lim 3xxx三、求导举例三、求导举例 例例 11求函数f(x)C（C为常数）的导数 解解: hxfhxfxf h)()(lim)( 0 0lim 0 hCCh即(C ) 0 例例 2.2. 求的导数. xxf1)(解解: hxhx hxfhxfxf hh11lim)()(lim)( 00 2001 )(1lim)(limxxhxxhxhhhh 例例 3.3. 求的导数xxf)(解解 hxhx hxfhxfxf hh 00lim)()(lim)( xxhxxhxhhhh211li
9、m)(lim 00 例例 44求函数f(x)x n (n 为正整数)在xa处的导数 解解 f (a)(x n1ax n2 a n1)na axafxfax )()(limaxaxnnax lim axlimn1 把以上结果中的a 换成x 得 f (x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 21)1(xxxx21)(1)(xx更一般地 有(x )x 1 其中为常数 例例 55求函数f(x)sin x 的导数 解解 f (x)hxfhxfh)()(lim 0 hxhxhsin)sin(lim 0 2sin)2cos(21lim 0hhxhh xhh hx hcos22sin )2cos(
10、lim 0 即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例例 66求函数f(x)a x(a0 a 1) 的导数 解解 f (x)hxfhxfh)()(lim 0 haaxhxh0limhaahhx1lim 0 tah1令 )1 (loglim 0tta atx aaeaxaxlnlog1特别地有(e x )e x 例例 77求函数f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解解 hxhx hxfhxfxfaahhlog)(loglim)()(lim)( 00 hxahahahxh xxh hx xxhx h)1 (loglim1)1 (loglim1)
11、(log1lim 000 axexaln1log1即 axxaln1)(log特殊地 xx1)(lnaxxaln1)(logxx1)(ln四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系1.1.单侧导数单侧导数根据极限存在的充要条件，函数在点可导，当且仅当)(xf0x与 0lim xxxfxxf )()(000lim xxxfxxf )()(00同时存在且相等这两个极限值分别称为在点的右导数右导数和左导数左导数（统称为单侧导)(xf0x数） 分别记为，）（0xf）（0xf2.2. 可导的充要条件可导的充要条件=）（0xf）（0xf）（0xf 例题例题 44 （1）设 讨论函数在处的
12、可导性)(xf 0,0,2xxxx)(xfx0（2） 设 ，求)(xf 0, 00,1sin2xxxx)0(f 3.3. 函数可导与连续的关系函数可导与连续的关系(1).(1).可导必连续可导必连续设函数在点可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知y)(xfx 0lim x xy)(xf ，xy )(xf 其中是时的无穷小量上式两端同乘以，得0xxyxxxf)(由此可见，当时， 即函数在点连续 0x0yy)(xfx(2).(2). 连续未必可导连续未必可导例如，函数在点处连续（图 1） ，但由例题 2（1）知，在点y| x0xy| x处不可导 同样，函数在点处连续（图 2） ，但由例题 2（2）
13、 ，中，0xy3x0x在点处不可导. y3x0x由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函 数在某点不连续，则函数在该点必不可导数在某点不连续，则函数在该点必不可导图 1 图 2 作业：练习册第 10 次第二讲第二讲 求导法则求导法则(1)(1)教学内容教学内容1. 导数的四则运算;2. 反函数的导数法则; 3. 复合函数的导数法则.教学目的与要求教学目的与要求5. 熟练掌握导数的四则运算法则 6. 熟练掌握反函数的求导法则; 7. 熟练掌握复合函数的导数法则.教学重点与难点教学重点与难点导数的四则运算法则及反函数的导数法则、复合函数的导数法则. 教学时数 32.22.2 求导法则求导法则(1)(1)一、导数的四则运算一、导数的四则运算设都在处可导，则有),(xuu )(xvv x；vuvu )(； ；vuvuuv )(uccu )(.2)(vvuuv vu我们现在只证明.证证 设则)(xf)()(xvxu=hxfhxfxf h)()(lim)( 0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim 0=hxvxuxvhxuxvh
