博克斯-詹金斯预测

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1、第一章第一章 博克斯博克斯詹金斯预测法詹金斯预测法第一节第一节 概述概述一一 模型简介模型简介博克斯詹金斯法，简称 BJ 法或 ARMA 法，是以美国统计学家 Geogre E.P.Box 和 英国统计学家 Gwilym M.Jenkins 的名字命名的一种时间序列预测方法。它主要试图解决以 下两个问题：一是分析时间序列的随机性、平稳性和季节性；二是在对时间序列分析的基 础上，选择恰当的模型进行预测。其预测模型分为：自回归模型（简称 AR 模型） 、滑动平 均模型（简称 MA 模型）和自回归滑动平均混合模型（简称 ARMA 模型） 。下面分别介绍 这三种模型：1 自回归模型自回归模型的公式为：

2、（91）tptpttteYYYYL2211式（91）中：p 是自回归模型的阶数，原则上 p 可为任意非负整数，但是在实际应 用中 p 的取值在 12 之间；Yt是时间序列在 期的观测，Yt-1是该时间序列在t-1 期的观t 测值，类似的，Yt-p是时间序列在t-p期的观测值；1, 2, p为自回归模型的参数； et是误差或偏差，表示不能用模型说明的随机因素。2 滑动平均模型滑动平均模型的公式为：（92）qtqtttteeeeYL2211式（92）中：q 是滑动平均模型的阶数，原则上 q 可为任意非负整数，在实际应用 中 q 的取值在 12 之间；Yt是时间序列在t期的观测；et是时间序列模型在

3、t期的误差或 偏差，et1是该时间序列模型在t-1 期的误差或偏差，et2是该时间序列模型在t-2 期的 误差或偏差，类似地，etq是时间序列模型在t-q期的误差或偏差；1, 2, p滑动平 均模型的参数。3 自回归滑动平均混合模型自回归模型与滑动平均模型的有效组合，便构成了自回归滑动平均混合模型，即：（93）qtqtttptpttteeeeYYYYLL22112211各参数的含义和自回归和滑动平均模型相同。二二 博克斯博克斯詹金斯法的基本思想詹金斯法的基本思想博克斯詹金斯法依据的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为 一个随机序列，即除去个别的因偶然原因引起的观测值外，时间序列

4、是一组依赖于时间 t 的随机变量。这组随机变量所具有的依存关系或自相关性表征了预测对象发展的延续性， 而这种自相关性一旦被相应的数学模型描述出来，就可以从时间序列的过去值及现在值来 于预测其未来值。可见，博克斯詹金斯法是以时间序列的自相关分析为基础的。三三 博克斯博克斯詹金斯法的预处理詹金斯法的预处理运用博克斯詹金斯法的前提条件是：作为预测对象的时间序列是一组零均值的平稳 随机序列。平稳随机序列的统计特性不随时间的推移而变化。直观地说，平稳随机序列的 折线图无明显的上升或下降的趋势如图 91。但是，大量的社会经济现象随时间的推移， 总表现出某种上升或下降的趋势，构成非零均值的非平稳的时间序列。

5、对此的解决方法是 在应用 ARMA 模型之前，对时间序列先进行零均值化和差分平稳化处理。1零均值化处理所谓零均值化处理，就是指对均值不为零的时间序列中的每一项数值都减去该时间序 列的平均数，构成一个新的均值为零的时间序列，即：（94）YYXtt式中：是原时间序列的平均数；n 是时间序列的个数。 nttYnY112差分平稳处理所谓差分平稳处理，就是指对零均值的非平稳时间序列进行差分，使之成为平稳的时间序列。即对序列Yt进行一阶差分，得到一阶差分序列：tY（95）) 1( ,1tYYYttt对一阶差分序列再进行一阶差分，得到二阶差分序列：tYtY2（96）)2( ,22112tYYYYYYtttt

6、tt依此类推，可以得到 n 阶差分序列。一般情况下，非平稳序列在经过一阶差分或二阶 差分后都可以实现平稳化。四四 博克斯博克斯詹金斯法的预测流程詹金斯法的预测流程博克斯和詹金斯在说明他们的预测方法时，曾绘制了图 92 所示的流程图。该预测方法把预测问题分为三个阶段：（1）模型识别；（2）模型参数估计和模型的检验；（3）预 测应用。假设模型的一般分类判断检验该模型是否恰当估计初步使用模型的参数选定可以初步使用的模型利用模型作出预测否 是第一阶段： 模型的识别第二阶段： 参数估计 和模型检验第三阶段： 预测应用图图9 92 2博博克克斯斯- -詹詹金金斯斯法法预预测测流流程程图图在图 92 中，先

7、假设预测模型的一般分类，博克斯詹金斯法使用的模型是 ARMA 模型体系。第一阶段：利用自相关分析和偏自相关分析等方法，分析时间序列的随机性、平稳性 和季节性，并选定一个特定的模型以拟合时间序列数据。模型的识别是博克斯詹金斯法 预测中至关重要的一步。识别模型是否恰当，需要有一个可以比较的标准，这里给出的标 准是：对一般 ARMA 模型体系中的一些特征，分析其理论特征，把这种特定模型的理论特 征，作为鉴别实际模型的标准，观测实际资料与理论特征的接近程度。最后，根据这种分 类比较分析的结果，来判定实际模型的类型。第二阶段：用时间序列的数据，估计模型的参数，并进行检验，以判定该模型是否恰 当。如不恰当

8、，则返回第一阶段，重新确定模型。第三阶段：当一个恰当的模型选定以后，便进入了第三阶段，即对将来的某一时刻的 数值做出预测。第二节第二节 重要参数解释重要参数解释一一 ARMAARMA 模型的自相关分析模型的自相关分析博克斯詹金斯法是以时间序列的自相关分析为基础的，以便识别时间序列的模式， 实现建模和完成预测的任务。自相关分析就是对时间序列求其本期与不同滞后期的一系列 相关系数和偏自相关系数，据以识别时间序列的特性。1自相关系数对时间序列Yt，Yt-k是其滞后 1 期数据形成的序列，Yt-2是其滞后 2 期数据形成的序列， 一般地， Yt-k是其滞后k期数据形成的序列，时间序列相差k个时期的两项

9、数据序列之间 依赖程度或相关程度可用自相关系数rk表示：（97） nttnktkttk YYYYYY r121式中：n是时间序列Yt的数据的个数；是时间序列的平均值。 nttYnY11相关分析与回归分析中变量之间的相关系数说明两个不同变量之间的相关程度，而自 相关系数则是说明同一变量在不同时期的数据之间的相关程度。自相关系数rk与相关分析 中的相关系数一样，取值范围在1 到 1 之间，即-1rk1。|rk|与 1 越接近，说明时间 序列的自相关程度越高。自相关系数可提供时间序列及其模式构成的重要信息。对于纯随机序列，即一个完全 由随机数字构成的时间序列，其各阶的自相关系数接近于零或等于零。而具

10、有明显的上升 或下降趋势的时间序列或具有强烈的季节波动或循环波动性质的时间序列，将会有高度的 自相关性。这种信息的有用之处在于：我们对现有的时间序列数据及其模式无需任何的了 解，就能得到其自相关系数。这些系数可以用来揭示我们所研究的时间序列数据的特性， 并能帮助我们选定一个合适的模型。2偏自相关系数在时间序列中，偏自相关是时间序列在给定了的条件下，通过tY121,ktttYYYL剔除其它各期的影响，与滞后k期时间序列之间的条件相关。它用来度量当其它滞后tY1,2,3,k-1 期时间序列的作用已知的条件下，与之间的相关程度。这种相关程度tYktY可以用偏自相关系数来度量：kk（98） ) 1,

11、2 , 1( ,), 3 , 2( , 11, 1, 1,11,11, 1111kik rrrrikkkikikktiiikiikikkkkLL在博克斯詹金斯法中，偏自相关系数被用来配合自相关系数，共同辨认适当的 ARMA 模型。在自回归模型的识别中，我们可以用偏自相关系数来初步判定模型的阶数； 在滑动平均模型中，我们可以用自相关系数来识别滑动平均模型。二二 ARMAARMA 模型参数的初步估计模型参数的初步估计1P 阶自回归模型参数的初步估计阶自回归模型的公式为：（99）ptptpttteYYYYL2211利用 YuleWalker 方程：（910）pppppppprrrrrrrrrLLLL

12、L22112211211211可求得参数的值。p,21L对于一阶自回归模型 AR(1)，由式 99 可知：（911）11r对于二阶自回归模型 AR(2)，由式 910 可得：（912） 2 12 12 22 121 1111rrrrrr2q 阶滑动平均模型参数的初步估计阶滑动平均模型的公式为：q（913）qtqtttteeeeYL2211由公式：（914）22 22 12211 1qqkqkkk kr LL可求得参数 的值。q,21L对于一阶滑动平均模型 MA(1)，由 914 式可得：（915）2 11 11 r解 915 式得： （916）12 1 12411rr对于二阶滑动平均模型 MA

13、(2)，由 914 式得：（917） 2 22 12 22 22 1211 111rr第三节第三节 ARMA 模型识别与检验模型识别与检验一一 ARMAARMA 模型的识别模型的识别将时间序列的自相关系数与偏自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间，这种图就称为自相关分析图。博克斯詹金斯法中的自相关分析主要是利用自相关分析图来完成的。在自相关分析图中，自相关系数与偏自相关系数的置信区间（自相关分析图中的两条虚线之间的区域）都取为，这里n是指时间序列中所含的数据的项数。)/2 ,/2(nn1P 阶自回归模型的识别阶自回归 AR()模型的公式为：pptptpttteYYYYL2211它的偏自相关系

14、数满足：（918） kippii ki1,01,因此， （919） pkpkkk,0,非零常数亦即，AR（p）模型的偏自相关系数 kk是以p步截尾的。利用 kk的截尾性就可以 判定出 AR（p）模型的阶数。以下是 AR(1)和 AR(2)的自相关分析图，以供参考之用。1-10k1-10k1-10k1-10k自相关系数偏自相关系数或图图9 93 3 一一阶阶自自回回归归模模型型的的自自相相关关分分析析图图1-10k1-10k1-10k1-10k自相关系数偏自相关系数或图图9 94 4 二二阶阶自自回回归归模模型型的的自自相相关关分分析析图图2Q 阶滑动平均模型的识别q 阶滑动平均 MA(q)模型的公式为：qtqtttteeeeYL2211它的自相关系数为： （920） qkqkrqqkqkkkq ,01,122 22 12211 LL因此， （921）0122 22 1qq qrL亦即，当kq时，rk=0，但 rq0，因，MA(q)模型的自相关系数 rq具有 q 步截尾性。 利用这一性质，可以判断出 MA(q)模型的阶数。以下分别是 MA(1)和 MA(2)的自相关分析 图。1-10k1-10k自相关系数偏自相关系数或图图9 95 5 一一阶阶滑滑动动平平均均模模型型的的自自相相关关分分析析图图1-10k1