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1、基本不等式（均值定理）基本不等式（均值定理）， （a0,b0）2baab （教案）（教案）一、学习目标一、学习目标 知识目标：知识目标：理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题 掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值 能力目标：能力目标：培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力 情感目标：情感目标：通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量 不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育 通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质 二、重点：二、重点：理解均值不等式 难点：难点：均值不等式的应用 三、学习过程：三、学习过程： （引出新
2、课引出新课）对任意两个正实数 a,b,数叫做 a,b 的算术平均数，数叫做 a,b 的几何2abab平均数。这两均数之间的不等关系可表述为：两个正实数的算术平均数不小于两个正实数的算术平均数不小于 它的几何平均数。它的几何平均数。 我们把这一基本不等式称之为均值定理均值定理，因此又叫均值不等式均值不等式（板书课题）符号表示为：若若 a,bRbR +,当且仅当当且仅当 a=ba=b 时，等号成立。时，等号成立。2abab问题 1：能证明吗？（作差法） 问题 2: 能不能用几何方法证明上面的基本不等式呢? 下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释：令正实数 a、b 为两条线段的长,用几何作图的方法
3、作出长度为 和的2abab两条线段,然后比较这两条线段的长。 （1）作线段 AB=a+b,使 AD=a,BD=b; （2）以 AB 为直径作半圆 O （3）过 D 点作 CDAB 于 D,交半圆于 C（4）连接AC，BC， CO，则 OC= CD=,2abab当当a ab b时，时，OCOC CDCD，即，即2abab当当a a= =b b时，时，OCOC= =CDCD，即，即2abab均值不等式与不等式 a2+b22ab 的关系如何？ 区别：a,b 的范围不同。 联系：均值不等式是 a2+b22ab 的特例。 小组讨论： 判断以下几个均值不等式的应用是否正确？若不正确，说明理由。aba+b2
4、ba ODCBA（1） x+2,当且仅当 x=1 时等号成立，1 x x+的最小值是 2.1 x（2）.解：（3）求函数 y=x+（x2）的最小值.1 x解: x0,x+2,函数的最小值是 2.1 x学生小组讨论 得出求最值的条件:一正二定三相等一、配凑一、配凑1. 凑系数例例 1. 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即 x2 时取等号。所以当 x2 时，的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用 均值不等式求最大值
5、。2. 凑项例例 2. 已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例例 3. 求的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将 其分离。当，即时（当且仅当 x1 时取“”号） 。当，即时（当且仅当 x3 时取“”号） 。的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换二、整体代换例例 4. 已知，求的最小值。解法 1：不妨将乘以 1，而 1 用 a2b 代
6、换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法 2：将分子中的 1 用代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。练一练练一练1. 求 y=x2+的最小值，以及此时 x 的值.24 x配凑（配凑（ 凑系数凑系数）2. 若，求的最大值.3.凑项凑项4. 求函数的最小值.5已知x ，求函数 y=4x2+的最大值.5 41 4x5解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。分离分离6. 求函数的最小值.整体代换整体代换7. 已知，且，求的最小值.参考答案：1. 当 x=时，最小值为 4； 2. ； 3.； 4.5； 5.1 ；6. 2 818； 7.
