《高二年级文科立体几何基础知识点全集(图文并茂)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二年级文科立体几何基础知识点全集(图文并茂)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1mll立体几何知识点整理一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示： 2. 线面相交 Al符号表示： 3. 线在面内l符号表示： 二平行关系：1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。ml mll / 方法二：用面面平行实现。ml ml/ 方法三：用线面垂直实现。 若，则。ml,ml /方法四：用向量方法： 若向量 和向量共线且 l、m 不重合，则lm。ml /2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 / l lmml 方法二：用面面平行实现。/ll 方法三：用平面法向量实现。若为平面的一个法向n量，且,则ln l。/l3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/, ,/ 且且且且且且ml
2、mlmmll方法二：用线面平行实现。 /,/ 且且且mlml三垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 lABACAABACABlACl,mlnlmllmmlABCllm 2方法二：用面面垂直实现。 l lmlm ,2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。mlml 方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl 方法三：用向量方法： 若向量 和向量的数量积为 0，则。lmml 三夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1) 范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步
3、骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abcba 2cos222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二)线面角(1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外） ，作 PO于 O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，(图中)为直线 l 与面所成的PAO角。AOP(2)范围： 90,0当时，或 0l/l当时， 90l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(为平面的一个法向量)。nAPn,cossinlmlm lcbaABCnAOPlAO
4、P3APnAPn (三)二面角及其平面角(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nml P (2)范围： 180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面，则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面且角。步骤 2：解三角形，求出二面角。A OP方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一：计算12 1212cosn nn n nn u r u u ru
5、 r u u r u ru u r步骤二：判断与的关系，可能相等或12n nu r u u r者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP 步骤 1：过点 P 作 PO于 O，线段 PO 即为所 求。 步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角形；等 体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。APnAPdcosnAPn 2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图，m 和 n 为两条异面直线，且n，则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为/mPOAn4直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcba m
6、DCBAmn如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：/mmcos2222abbacd高考题典例高考题典例1如图所示，在长方体1111ABCDABC D中，AB=AD=1，AA1=2，M 是棱 CC1的中点（）求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值； （）证明：平面 ABM平面 A1B1M12.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用S平 方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到 0.01 平方米）;
7、(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0r0.6)，S3(r0.4)20.48，所以当 r0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米；(2) 当 r0.3 时，l0.6，作三视图略53.3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC 的中点. ()证明：EF平面PAD； ()求三棱锥EABC的体积 V. 解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC. 又BCAD,EF
8、AD, 又AD平面PAD,EF平面PAD, EF平面PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=1 2PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=2,EG=2 2.SABC=1 2ABBC=1 222=2,VE-ABC=1 3SABCEG=1 322 2=1 3.4.4. 如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCC B是菱形，11BCAB（）证明：平面1ABC平面11ABC；（）设D是11AC上的点，且1/AB平面1BCD，求11:AD DC的值.解：（）因为侧面 BCC1B1是菱形，所以11BCCB又已知BBCBABACB111
9、1,且所又CB1平面 A1BC1，又CB1平面 AB1C ，所以平面CAB1平面 A1BC1 .（）设 BC1交 B1C 于点 E，连结 DE， 则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线， 因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE. 又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点. 即 A1D：DC1=1.65.5.如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=2,CE=EF=1（）求证：AF/平面 BDE； （）求证：CF平面 BDF; 证明：（）设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1，AG=1 2AG=1
10、所以四边形 AGEF 为平行四边形所以 AFEG因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE,所以 AF平面 BDE（）连接 FG。因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1, 所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC. 又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面 ACEF平面 ABCD=AC, 所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG=G,所以 CF平面 BDE. 6.如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA平面 ABCD，BCAD，CD=1，AD=2 2，BADCDA45.（）求异面直线 CE 与
11、 AF 所成角的余弦值； （）证明 CD平面 ABF； （）求二面角 B-EF-A 的正切值。(I)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA/ED.故CED为异面 直线 CE 与 AF 所成的角. 因为 FA平面 ABCD，所以 FACD.故 EDCD.在 RtCDE 中，CD=1，ED=2 2，CE=22CDED=3,故 cosCED=ED CE=2 2 3.所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为2 2 3.()证明：过点 B 作 BG/CD,交 AD 于点 G，则45BGACDA o.由45BADo,可得 BGAB,从而 CDAB,又 CDFA,FAAB=A,所以 CD平面 ABF.()解：由（）及已知，可得 AG=2，即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N，连接 GN，则 GNEF,因为 BC/AD,所以 BC/EF.过点 N 作 NMEF，交 BC 于 M，则GNM为二面角 B-EF-A 的平面角。连接 GM，可得 AD平面 GNM,故 ADGM.从而 BCGM.由已知，可得 GM=2 2.由 NG/FA,FAGM,得NGGM.7在 RtNGM 中，tanGM1 NG4GNM,所以二面角 B-EF-A 的正切值为1 4.
